10419
Немного математики каждый день // для обратной связи: cme.chnl@gmail.com (интересным вещам по теме канала всегда рады; за деньги или за «обмен ссылками» ничего не публикуем)
перед новым годом пропустили — а книжка А.Д.Блинкова про тождества сокращенного умножения вышла:
Читать полностью…
В книжной лавке осталось небольшое количество давно вышедших, но ценных книжек — "Студенческие чтения НМУ", выпуски 1, 2, в которых представлены лекции известных ученых в НМУ в 1997-2000 годах.
https://biblio.mccme.ru/node/1571
https://biblio.mccme.ru/node/1588
На плоскости даны четыре прямые, из которых никакие две не параллельны, и никакие три не пересекаются в одной точке. По каждой прямой с постоянной скоростью идёт пешеход. Известно, что первый встречается со вторым, с третьим и с четвёртым, а второй встречается с третьим и с четвёртым. Доказать, что третий пешеход встретится с четвёртым.
Решение красивое, не откажите себе в удовольствии его придумать. (Московская олимпиада 1958года)
Номер 11-12 Кванта за 2024 год:
https://kvant.mccme.ru/pdf/2024/2024-11-12.pdf
Все номера журнала: kvant.ras.ru
https://euromathsoc.org/magazine/articles/206
недавнее интервью Клэр Вуазен
Задания январского тура. Присоединиться к участию можно, начиная с любого тура!
https://sites.google.com/view/savin-contest
На странице сборника "Математическое просвещение"
https://old.mccme.ru/free-books/matpros.html
появился указатель статей по ВСЕМ выпускам третьей серии. Доступен также эксель-файл с возможностью сортировки.
http://mi.mathnet.ru/umn4470
вот такая статья В.И.Арнольда про змей, числа Эйлера и Бернулли и особенности функций пусть здесь будет
https://mccme.ru/oluch/info25.htm
идет XX заочный творческий конкурс учителей математики
как обычно, предлагается девять заданий, разбитых на три блока: математический, методический и аналитический
решения принимаются до апреля
https://www.mathedu.ru/text/mp_1957_v1/p7/
https://www.mathedu.ru/indexes/authors/bonchkovskiy_r_n/
120 лет назад родился Ростислав Николаевич Бончковский, инициатор создания и редактор первой серии сборников Математического просвещения
https://www.christo.sh/numbers-are-leaves/
в качестве картинок по выходным — числа в виде деревьев (визуализируется конструкция фон Неймана — это когда 0=∅, 1={0}={∅}, 2={0,1}={∅,{∅}} и т.д.; подробности по ссылке)
за ссылку спасибо Н.Медведю
📚 Сергей Валерьевич Маркелов был популяризатором науки, организатором и составителем заданий Математического праздника, автором задач Московской олимпиады школьников по математике, Турнира Городов, Турнира Ломоносова, Олимпиады по геометрии им. И.Ф. Шарыгина.
⭐️ Коллеги собрали несколько его увлекательных заданий, попробуйте решить их и вы: olimpiada.ru/article/1161
напомним про библиотеку «Математическое образование» ( https://mathedu.ru )
за прошедший год обработано и добавлено в библиотеку больше 100 000 страниц
из недавно появившегося — вот, например, добавлена полностью вторая серия сборников «Историко-математические исследования» (1995–2018):
https://www.mathedu.ru/catalogue/collections/groups/#imi
почитать про нее можно в сборнике «The Eightfold Way: The Beauty of Klein's Quartic Curve» https://library2.msri.org/books/Book35/contents.html
(в него входит, в частности, известная статья N.Elkies. The Klein Quartic in Number Theory)
в продолжение темы: «Circle Limit I» Эшера и замощение модели Пуанкаре плоскости Лобачевского одинаковыми правильными 6-угольниками, сходящимися по 4 в вершине
Читать полностью…
картинки по выходным: простые гауссовы числа — со страницы https://people.math.harvard.edu/~knill/primes/primes.html
Читать полностью…
в конце мая 1999 года Пьер Картье прочитал в рамках «Студенческих чтений НМУ» три лекции: про значения дзета-функции, про комбинаторику деревьев, про операды
вот их записки
можно и купить бумажный журнал: https://biblio.mccme.ru/node/271266
Читать полностью…
Номер 10 Кванта за 2024 год:
https://kvant.mccme.ru/pdf/2024/2024-10.pdf
Все номера журнала: kvant.ras.ru
https://old.kvantik.com/art/files/pdf/2023-12.2-6.pdf
АБ
АББА
АББАБААБ
…
наверное понятно, как продолжать эту последовательность всё дальше
а вот что может быть не так очевидно — что эта последовательность букв естественным образом кодирует «снежинку Коха»
вот про такие вещи рассказывается в статье Валентины Кириченко и Владлена Тиморина в №12 за 2023 год журнала «Квантик»
упомянутую там программу можно посмотреть и запустить по ссылке https://kvantik.com/short/turtle
а обсуждение других свойств этого слова Туэ-Морса можно прочитать в «Математических байках» начиная с /channel/mathtabletalks/4284
как делить числа?
пусть у нас есть числа a и b и мы хотим быстро посчитать a/b с большой точностью (а складывать-умножать числа мы уже умеем)
можно сдвинуть числитель и знаменатель на степень двойки, так что достаточно научиться находить 1/b для b между, скажем, 1/2 и 1
в этом посте нет экспериментальной математики, но так понравилась история, что не могу не поделиться — спасибо рассказавшему про это А.Гасникову (все ошибки, естественно, на моей совести)
1.
когда надо вычислить значение функции, у меня первый рефлекс — разложить ее в ряд Тейлора, т.е. в данном случае просто воспользоваться бесконечной геометрической прогрессией:
если b=1-q, то 1/b=1+q+q²+q³+… — сиди и вычисляй столько членов, сколько тебе нужно (так как |q|<1/2, рано или поздно всё получится)… но сколько нужно? чтобы найти N (двоичных) знаков после запятой нужно взять ~N членов, т.е. сделать ~N умножений, и это не очень вдохновляет
в конце концов, уравнение f(x)=0 для монотонной функции b всегда можно решать методом деления пополам (выбираем ту половину, на концах которой у f разные знаки, повторяем процесс) — уже это позволяет искать N знаков после запятой за ~N действий (для деления такой способ так же известен как деление в столбик)
но оказывается, что делить можно и намного быстрее, чем в столбик!
2.
если функция достаточно хорошая, то уравнение f(x)=0 можно быстро приближенно решать при помощи метода Ньютона
(
напомню идею: если x — приближенное значение корня, то рядом ним график функции недалеко ушел от касательной, поэтому в качестве следующего приближения можно взять пересечения касательной с нулем, т.е. x→x-f(x)/f'(x)
и в некоторой окрестности корня метод Ньютона, если производная в этом корне не равна 0, сходится очень быстро: за итерацию погрешность ~возводится в квадрат
)
на первый взгляд, нам метод Ньютона не поможет, так как в него входит деление — но тут происходит чудо: если сформулировать нашу задачу как задачу поиска нуля функции f(x)=1/x-b, то в методе Ньютона все деления сокращаются: f/f'=(1/x-b)⋅(-x²)=-x⋅(1-bx)
и получается рецепт x→x⋅(2-bx), который позволяет получить N знаков числа 1/b всего за ~log(N) операций (за каждую операцию количество верных знаков ~удваивается)
можно проверить, как это работает:
from mpmath import *
mp.dps = 300
b = mpf(57)/100
x = mpf(1)
print("1/"+nstr(b,30))
print(0,":",nstr(x,80))
for k in range(10):
x = x*(2-b*x)
print(k+1,":",nstr(x,80),
"diff:",nstr(abs(1/b-x),2,min_fixed=1))
print("T :",nstr(1/b,80))
к выходным — несколько картинок из статьи выше
Читать полностью…
про числа Бернулли хотелось бы напомнить и статью Арнольда:
Читать полностью…
https://www.mathnet.ru/rus/kvant4275
в связи с Я.Бернулли хочется вспомнить, конечно, и про числа Бернулли — вот статья А.П.Веселова про них (Квант №11-12 за 2023 год)
https://www.geometry.ru/articles/akopyanbernulli.pdf
в честь сегодняшнего дня рождения Якоба Бернулли — напомним статью А.Акопяна про геометрию лемнискаты Бернулли (Квант №3 за 2009 год)
https://mccme.ru/nir/seminar/index24.htm#markelov
16 января на семинаре учителей математики будет мини-конференция, посвященная памяти Сергея Маркелова (1976–2024)
МЦНМО, с 17:45 (расписание на сайте)
приглашаются все желающие — и в этот раз возможно семинар будет интересен и старшеклассникам
https://www.mathnet.ru/present6844
видеозапись воспоминаний И.Р.Шафаревича
https://homepage.mi-ras.ru/~vvkozlov/fulltext/037.pdf
к юбилею В.В.Козлова — пусть здесь будет его обзорная статья «Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновой механике»
https://math.ucr.edu/home/baez/klein.html
замощения сферы одинаковым правильными сферическими многоугольниками соответствуют правильным многогранникам
а что хорошего можно сделать из замощений плоскости Лобачевского?
если правильным образом их покрасить, а потом отождествить части одного цвета, можно получить интересные римановы поверхности
по ссылке объясняется, например, как таким образом получить квартику Клейна
https://etudes.ru/etudes/Lobachevskian-geometry-Poincare-disk-model/
у Мат. Этюдов недавно появились разные картинки и разговоры на тему [модели Пуанкаре] плоскости Лобачевского
в частности, можно смотреть на разные замощения плоскости Лобаческого одинаковыми правильными многоугольниками