cme_channel | Unsorted

Telegram-канал cme_channel - Непрерывное математическое образование

10419

Немного математики каждый день // для обратной связи: cme.chnl@gmail.com (интересным вещам по теме канала всегда рады; за деньги или за «обмен ссылками» ничего не публикуем)

Subscribe to a channel

Непрерывное математическое образование

https://zanauku.mipt.ru/2025/04/29/kashiwara/

М.А.Цфасман про математику М.Касивары

Читать полностью…

Непрерывное математическое образование

«…Отличительная черта научной деятельности Зализняка — интерес к математике и точным методам в языкознании. В 1950-е годы он учился на французском отделении филологического факультета Московского университета — казалось бы, что может быть более гуманитарным и далёким от точных наук? Однако он стал ходить к В.А.Успенскому на занятия по математике для филологов и оказался в числе лучших студентов. (…) Вскоре Зализняк стал одним из руководителей семинара по математической лингвистике на механико-математическом факультете. О некоторых достижениях Зализняка, связанных с формализацией лингвистического знания, мне бы и хотелось рассказать поподробнее…»

цитата — из вводной статьи А.Пиперски в третьем издании «Лингвистических задач» А.А.Зализняка (29.04.1935–24.12.2017)

Читать полностью…

Непрерывное математическое образование

вчера исполнилось 100 лет со дня рождения Владимира Григорьевича Болтянского (26.04.1925–16.04.2019)

http://kvant.mccme.ru/au/boltyanskij_v.htm
https://www.mathedu.ru/indexes/authors/boltyanskiy_v_g/

Читать полностью…

Непрерывное математическое образование

https://arxiv.org/abs/2207.04779

«A proof is one of the most important concepts of mathematics. However, there is a striking difference between how a proof is defined in theory and how it is used in practice. This puts the unique status of mathematics as exact science into peril. Now may be the time to reconcile theory and practice, i.e. precision and intuition, through the advent of computer proof assistants. For the most time this has been a topic for experts in specialized communities. However, mathematical proofs have become increasingly sophisticated, stretching the boundaries of what is humanly comprehensible, so that leading mathematicians have asked for formal verification of their proofs. At the same time, major theorems in mathematics have recently been computer-verified by people from outside of these communities, even by beginning students. This article investigates the gap between the different definitions of a proof and possibilities to build bridges. It is written as a polemic or a collage by different members of the communities in mathematics and computer science at different stages of their careers, challenging well-known preconceptions and exploring new perspectives.»

Читать полностью…

Непрерывное математическое образование

https://mccme.ru/nir/seminar/
доступны видео недавних заседаний семинара учителей:

https://youtu.be/V65JcxLsgq0
Д.А.Калинин про олимпиаду 4 класса, проводимую в школе 57

https://youtu.be/5CYEk8zXlMw
https://youtu.be/4UDKWgbQJQE
Э.А.Акопян про задачи по комбинаторике и про групповые формы работы на уроках математики

https://youtu.be/uIuUFrRNpQs
А.И.Буфетов про историю математики в школьном преподавании математики

https://youtu.be/YO_e-JgbW84
призеры и члены жюри конкурса учителей математики о своих любимых задачах

Читать полностью…

Непрерывное математическое образование

https://www.math.ucla.edu/~pak/papers/cathist4.pdf

Игорь Пак про историю чисел Каталана

см. также вообще страницу https://www.math.ucla.edu/~pak/lectures/Cat/pakcat.htm

Читать полностью…

Непрерывное математическое образование

Условия 1 дня всеросса 2025

Читать полностью…

Непрерывное математическое образование

Однажды я присутствовал на докладе одного методиста, который объяснял, как учить детей делить дробь на дробь.

Он рассказал, что правило было сформулировано, после чего он прорешал для детей в качестве примеров несколько задач такого рода. Затем порешали примеры дети, а потом им была дана контрольная письменная работа. И в этой контрольной письменной работе почти все сделали одну типичную ошибку. Они, в некоторых случаях, и все в одних и тех же, почему-то не переворачивали дроби, а просто перемножали – в некоторых случаях сначала переворачивали, а в других нет.

(…) Причина ошибки заключалась в том, что в примерах, которые предлагались детям до контрольной, вторая дробь всегда была правильная. Дети и усвоили из этих примеров, как надо действовать. Так они и действовали.

(…)

То обстоятельство, что дети в этом возрасте должны научиться понимать правило и пользоваться этой формулировкой, а вовсе не примерами, которые им были показаны, — это обстоятельство совершенно ускользнуло от этого методиста и от всех других, присутствовавших на его лекции.

Мне представляется зловредным заблуждением то, что сразу после формулировки даются примеры. Мне кажется совершенно несомненным, что дети должны сами, руководствуясь правилом, данным правилом, просчитывать первые примеры. Конечно, они должны приобрести навыки и дальше делать это автоматически, но ценнейшее обстоятельство, которое здесь имеется, то обстоятельство, что дети на этом примере могут научиться и должны научиться понимать формулировку, было упущено.


http://www.mathsoc.spb.ru/pantheon/rokhlin/Rokhlin.pdf

Читать полностью…

Непрерывное математическое образование

https://math.hse.ru/announcements/1034864253.html

16, 23, 30 апреля пройдут дистанционные лекции А.Г.Хованского на тему «Топологическая теория Галуа, алгебраическая геометрия и выпуклая геометрия»

по содержанию можно ориентироваться на анонс https://pantheon.math.berkeley.edu/about/upcoming-events/lecture-series/chern-lectures/2024-2025-chern-lecture — но сейчас лекции будут на русском языке

зум-ссылка — elsewhere

Читать полностью…

Непрерывное математическое образование

https://gilkalai.wordpress.com/2025/04/09/boaz-klartag-striking-new-lower-bounds-for-sphere-packing-in-high-dimensions/

https://arxiv.org/abs/2504.05042

новости упаковки шаров в пространстве произвольной размерности

Читать полностью…

Непрерывное математическое образование

Теорема Акса-Гротендика и ультрафильтры.

1/2

Гриша Папаянов мне тут интересную тему рассказал. Есть такая теорема Акса-Гротендика, которая говорит, что любое инъективное полиномиальное отображение из n-мерного комплексного пространства в себя
ℂ^n → ℂ^n
сюръективно.

Интересна мне эта теорема не сама по себе, а методом доказательства, который рассказал мне Гриша, и которое можно найти по ссылке. Это абсолютно прозрачное доказательство, в котором используются конечные поля и ультрафильтры.

В доказательстве используется понятие фильтра, ультрафильтра, ультрапроизведения и предложения первого порядка, которые я напомню в следующих скрытых кусочках и гиперссылки сделаю (если знаете, можно не читать).

Фильтры.

Фильтр на множестве X — это такое множество F подмножеств X, что выполняются следующие аксиомы:
1) пустое множество не является элементом F;
2) F замкнуто относительно конечных пересечений;
3) F замкнуто относительно взятия надмножеств,
то есть если A ∈ F и A⊆B⊆X, то B ∈ F.

Например, окрестности какой-то точки в топологическом пространстве образуют фильтр. А ещё, если X бесконечно, то дополнения конечных множеств образуют фильтр.


Ультрафильтры.

Фильтры образуют упорядоченное множество по включению. Ультрафильтр — это максимальный по включению фильтр. Эквивалентно можно определить ультрафильтр как фильтр F, у которого для любого подмножества A⊆X, либо A∈F, либо X\A∈F.

Например, для любого x_0 ∈ X, все подмножества содержащие x_0, образуют ультрафильтр. Такие ультрафильтры называются главными. Если X конечно, то все ультрафильтры главные. Все остальные ультрафильтры явно не строятся, а строятся при помощи следующего утверждения, которое доказывается при помощи леммы Цорна: для любого фильтра существует ультрафильтр, который его содержит. В частности, для фильтра дополнений конечных множеств есть ультрафильтр, который его содержит, и он не главный.


Ультрапроизведение.

Если есть семейство множеств (X_i)_{i∈I}, проиндексированное множеством I, и задан ультрафильтр F на I, то можно взять произведение этого семейства и профакторизовать по такому отношению эквивалентности: два элемента произведения x,y эквивалентны, если
{ i : x_i = y_i } ∈ F.
Фактор произведения по этому отношению эквивалентности называется ультрапроизведением этого семейства.

Когда все X_i равны, то это называется ультрастепенью. Например,
гипервещественные числа из нестандартного анализа — это ультрастепень поля вещественных чисел относительно не главного ультрафильтра.

Предложения первого порядка.

Предложение первого порядка для колец — это, грубо говоря, утверждение про кольцо, записанное в кванторах в терминах элементов этого кольца и их произведений, сумм, с использованием единицы и нуля в качестве выделенных элементов. Без использования вспомогательных множеств типа натуральных чисел, без использования подмножеств, или функций. Все переменные только из кольца. Строгое определение можно почитать в википедии. Например, свойство кольца быть коммутативным можно выразить при помощи предложения первого порядка. И свойство быть полем тоже. И свойство о том, что любой многочлен данной степени n имеет корень тоже. Но, например, свойство иметь счётную мощность, или какое-то фиксированное число порождающих, нельзя выразить как предложение первого порядка. Предложения первого порядка могут быть определены для любой сигнатуры. Это всё из теории моделей.

Фундаментальная теорема об ультрапроизведениях (Теорема Łoś'a) говорит, что если у вас есть семейство моделей X_i над какой-то сигнатурой, и какое-то предложение первого порядка, то оно выполняется для их ультрапроизведения относительно ультрафильтра F тогда и только тогда, когда множество индексов i, что оно выполняется для X_i, лежит в F.

В частности, если какое-то предложение первого порядка верно для всех X_i, то оно верно и для их ультрапроизведения.

Отсюда получаем, что ультрапроизведение полей — это поле. И ультрапроизведение алгебраически замкнутых полей — это алгебраически замкнутое поле.

Читать полностью…

Непрерывное математическое образование

2025 New Horizons in Mathematics Prize:

Ewain Gwynne — for contributions to conformal probability, in particular to the understanding of the LQG metric

John Pardon — for contributions to symplectic topology and other areas of geometry and topology

Sam Raskin — for contributions to the geometric Langlands program, including the theory of the Whittaker model and the proof of the geometric Langlands conjecture in characteristic 0

Читать полностью…

Непрерывное математическое образование

в качестве картинок по выходным — примеры самоподобия из последнего Кванта (№2 за 2025 год; В.Кириченко и В.Тиморин)

https://kvant.mccme.ru/pdf/2025/2025-02.pdf

Читать полностью…

Непрерывное математическое образование

А вы знаете про альтернативную формулу решений квадратного уравнения?

Вместо "минус бэ плюс-минус корень... поделить на два а", в ней "2це поделить на минус бэ минус-плюс корень...".

Ну, разобраться в том, что она дает ровно те же два решения, не очень тяжело.

Почему там "минус-плюс" в знаменателе, тоже не бином Ньютона: суть в том, что один и тот же корень получается, если в первоначальной формуле взять плюс, а в этой минус. И наоборот, если в обеих взять плюс, то выйдут два разных корня, в общем случае.

Но вот зачем это все надо? Те, кто знают, уже усмехаются и кивают, а я расскажу.

Это нужно, если обычная формула заставляет сделать "катастрофическое сокращение". Что такое катастрофическое сокращение, спросите вы? Это когда мы делаем вычитание двух чисел, очень близких друг к другу. Из-за того, как вещественные числа записываются в памяти компьютера (вспоминайте эти странные слова: мантисса... экспонента...), происходит потеря точности.

Например, если b очень большое в сравнении с a,c, то получится, что дискриминант sqrt(b^2-4ac) очень близок по значению к b. Тогда операция -b+sqrt(D) потеряет почти все значащие биты в представлениях b и sqrt(D). Мы получим какое-то решение, но оно легко может на 10-20% отличаться от истинного. А второе решение, где берется минус, будет в порядке.

Тут-то и пригождается альтернативная формула: где в обычной минус, в ней плюс и наоборот. Тот же корень она позволит вычислить с гораздо большей точностью.

Все старое опять становится новым. Когда-то в 70-х и 80-х годах прошлого века, такие трюки были обыденным делом для программистов. Потом мы все привыкли к 64-битным вещественным типам и обленились, хотя конечно эксперты в определенных областях знали и это и гораздо более продвинутые техники численного анализа. А сейчас в нейронных сетях один из главных трендов - снижение точности до 32- и 16-битных представлений, чтобы выиграть скорость и память на миллионах и миллиардах параллельных операций внутри GPU. Не то чтобы с 64-битными числами не надо никогда следить за точностью, но в 32- и 16-битных эта проблема опять выходит на передний план.

Читать полностью…

Непрерывное математическое образование

π и e появляются вместе в замечательной асимптотической формуле Стирлинга для факториала,

n! ~ √(2πn) (n/e)^n

в приложении обсуждение разных доказательств этого утверждения

(via А.Устинов)

Читать полностью…

Непрерывное математическое образование

Сегодня, в день рождения известного лингвиста Андрея Анатольевича Зализняка, напомним о его работах. Лекции "Контуры истории русского ударения" и "О происхождении слов" войдут в готовящиеся к изданию материалы Летних лингвистических школ 2009 и 2010 гг. Видео этих лекций:
Об ударении в русском языке https://www.mathnet.ru/rus/present5106
О происхождении слов https://www.mathnet.ru/rus/present5107

Читать полностью…

Непрерывное математическое образование

вместо картинок по выходным — инструкция как приказывать солнцам при помощи геометрической прогрессии от Хлебникова

// via Zenzeli

Читать полностью…

Непрерывное математическое образование

https://math.stackexchange.com/a/438515/

многие слышали про разложение синуса в бесконечное произведение (по множителю на каждый ноль синуса; об этом часто рассказывают еще в связи с вычислением Эйлера суммы обратных квадратов)

по ссылке обсуждается тройное произведение Якоби как q-деформация этого разложения

Читать полностью…

Непрерывное математическое образование

https://biblio.mccme.ru/node/282509

доступно второе (существенно дополненное) издание книги «Учимся на чужих ошибках» А.Д.Блинкова — более 200 текстов с разными ошибками и пробелами (многие пришли из реальных занятий со школьниками, из различных олимпиад; большинство — использовались на творческих конкурсах учителей математики) и их обсуждение

книга прежде всего для тех, кто ведет занятия со школьниками, — но может быть интересна и старшеклассникам и т.д.

(была какая-то техническая проблема, но всё снова доступно на сайте магазина)

Читать полностью…

Непрерывное математическое образование

https://www.simonsfoundation.org/2013/11/12/michael-freedman/

к сегодняшнему д.р. Фридмана — пусть будет его большое видеоинтервью

для привлечения внимания — такая, например, цитата:

«Freedman was less than ideally prepared for graduate school, even though he had spent much of the drive from California to New Jersey with a math textbook propped open on the steering wheel. In his first class at Princeton, Freedman recalls, his professor, Donald Spencer, opened by saying, “Let S be the sheaf of germs of sections of a vector bundle.” Freedman thought to himself, ”Well, good, I know what a vector is.”»

Читать полностью…

Непрерывное математическое образование

картинки по выходным — ассоциаэдр из диссертации D. Tamari (1951)

// этот фрагмент приводится в статьях Сташефа и Лодея, но саму диссертацию в сети найти не удалось

Читать полностью…

Непрерывное математическое образование

https://dacox.people.amherst.edu/lectures/newton.pdf

David A. Cox. Newton's Method, Galois Theory, and Something You Probably Didn't Know About A_5 (слайды)

Читать полностью…

Непрерывное математическое образование

https://www.mathnet.ru/rus/aa339

А.В.Пухликов, А.Г.Хованский. Теорема Римана–Роха для интегралов и сумм квазиполиномов по виртуальным многогранникам (1992)

«Работа посвящена доказательству теоремы (называемой авторами теоремой Римана–Роха), связывающей интеграл и целочисленную сумму квазиполинома по выпуклой цепи из некоторого семейства. Показано, что существует линейный дифференциальный оператор (оператор Тодда), переводящий интеграл в сумму. Это дает многомерное обобщение известной формулы Эйлера–Маклорена. »

Читать полностью…

Непрерывное математическое образование

На отрезке AB отметили точку X так, что AX:AB=1:10. После этого отрезок AB разделили на 2^10 равных частей. В каком отношении точка X делит ту часть, на которую попадает?

Предлагается попробовать решить такую задачу (вполне доступна и начинающим!), а потом можно заглянуть в статью Н.Солодовников «Удвоение отрезка и судьба точки» в Квантике, https://old.kvantik.com/art/files/pdf/2024-08.10-12.pdf

Читать полностью…

Непрерывное математическое образование

2/2

Дальше при помощи этого всего добра доказываем теорему Акса-Гротендика.

Можно задаться вопросом, для каких полей F утверждение
"любое инъективное полиномиальное отображение из F^n в себя сюръективно"
верно?

Заметим, что если фиксировать n и степени всех n полиномов от n переменных, то это утверждение можно записать в виде предложения первого порядка.

Для конечных полей F это утверждение верно.

Если K_p — алгебраическое замыкание поля из p элементов, то из того, что любое его конечно порождённое подполе конечно, тоже получается, что это верно.

Значит оно верно и для ультрапроизведения K всех K_p по всем p относительно не главного ультрафильтра на множестве простых чисел.

Это ультрапроизведение K, так же как и все сомножители, является алгебраически замкнутым полем. И его характеристика равна нулю.

Обычное произведение всех K_p, понятное дело, имеет континуальную мощность. Можно показать, что и ультрапроизведение K имеет континуальную мощность. Это обычная задачка на теорию множеств: (Для этого достаточно заметить, что есть континуальное семейство функций ℕ → ℕ, разные члены которого совпадают только на конечном числе элементов. Чтобы построить такое семейство, нужно для каждой последовательности
a : ℕ → {0,1}
определить функцию
f_a : ℕ → ℕ
по формуле
f_a (n) = a(0)*2^0 + a(1)* 2^1 + ... +a(n)*2^n.)


Теорема Штайница говорит, что любое алгебраически замкнутое поле характеристики ноль и континуальной мощности изоморфно полю комплексных чисел. То есть K изоморфно ℂ. Теорема доказана.

Читать полностью…

Непрерывное математическое образование

https://mast.queensu.ca/~murty/murty.pdf

M.Ram Murty. Prime Numbers and Irreducible Polynomials

с подачи А.С.Штерна в разных местах обсуждают такую теорему:

запишем число цифрами — в 10-чной, например, системе счисления — и заменим 10 на x

оказывается, если число было простым, то и многочлен будет неприводим в Z[x]

вот по ссылке популярная статья про это

Читать полностью…

Непрерывное математическое образование

Breakthrough Prize in Mathematics 2025 получает Денис Гайцгори за центральную роль в доказательстве геометрической гипотезы Ленглендса

https://breakthroughprize.org/News/91

«For foundational works and numerous breakthrough contributions to the geometric Langlands program and its quantum version; in particular, the development of the derived algebraic geometry approach and the proof of the geometric Langlands conjecture in characteristic 0.»

Читать полностью…

Непрерывное математическое образование

https://mccme.ru/nir/seminar/

в четверг (10.04) на семинаре учителей математики Дмитрий Калинин будет рассказывать о тестовой олимпиаде 4 класса в школе 57

как обычно: 19:00, столовая МЦНМО, приглашаются все желающие

Читать полностью…

Непрерывное математическое образование

Для пространства X рассмотрим конфигурационное пространство
F_n(X) := {(x1,..,xn) ∈ X^n: xi ≠ xj при i≠j},
("его точки — упорядоченные наборы n частиц, бегающих по X").
Часто также пишут Conf_n(X) вместо F_n(X), а пространство неупорядоченных наборов обозначают C_n(X) := Conf_n(X) / S_n. Буква F происходит от фамилии Fadell; это я узнал из обзора, который написал Kallel.)

Разумная гипотеза: если M и N — гомотопически эквивалентные многообразия, то F_n(M) и F_n(N) — тоже. (то есть "F_n(M) — гомотопический инвариант многообразия M")

Частичные подтверждения:
(1) Levitt, 1995: ΩF_n(M) — гомотопический инвариант. Если M 2-связно, то F_2(M) — гомотопический инвариант.
(2) Aouina-Klein, 2003: если M — r-связное d-мерное, то
Σ^N F_n(M) — гомотопический инвариант при N-2>(n-2)d-r.

Опровержение:
(3) Longoni-Salvatore, 2004: рассмотрим линзовые пространства M=L(7,1) и N=L(7,2). (Это гомотопически эквивалентные, но не гомеоморфные замкнутые трехмерные многообразия; оба — факторпространства S^3 по Z/7Z). Тогда F_n(M) и F_n(N) не гомотопически эквивалентны. При n=2 доказывается так:
односвязное накрытие над F_2(M) гомотопически эквивалентно букету шести копий S^3 x S^2;
односвязное накрытие над F_2(N) имеет нетривиальные произведения Масси в когомологиях.

Читать полностью…

Непрерывное математическое образование

https://xkcd.com/3023/

к 1 апреля — формула, связывающая пи и e

Читать полностью…
Subscribe to a channel