10419
Немного математики каждый день // для обратной связи: cme.chnl@gmail.com (интересным вещам по теме канала всегда рады; за деньги или за «обмен ссылками» ничего не публикуем)
Конспект с\к по комбинаторной теории групп готов. В силу ряда причин я читал в этом семестре лекции с презентациями и решил свести всё вместе. Потребовало это сведение несколько больших усилий, чем я предполагал: взыграл не пойми откуда взявшийся перфекционизм. Да и объём... вышло аж 248 слайдов.
В общем имеется: обширная библиография, упражнения (обычно простые) которые я давал на лекциях, домашние задания с более полноценными задачами, картинки в не малом количестве. Некоторые, правда, остались в довольно шакальном виде, но уж извините. Я таки решил в какой-то момент «это прекратить».
Для тех, кто немного в курсе КТГ, может быть интересным доказательство теоремы Нильсена-Шрейера через сплетения. Доказательство довольно тяжёлое, но любопытное тем, что доказывается именно универсальное свойство свободной группы. Ещё эта же конструкция обобщается для доказательства теоремы Куроша. Ссылка на оригинал присутствует, разумеется.
Ещё есть очень красивый пример использования леммы ван Кампена для решения школьной задачи про заполнение шахматной доски с вырезанными угловыми клетками доминошками (позаимствовал в книге Сапира, а придумал эту штуку, кажется, Тёрстон). На лекции я ещё позлобствовал о своём отношении к олимпиадной математике, но это останется между нами.
В конце я постарался обобщить курс в лекции про теорию категорий, которая была в открытом формате и много народа на неё пришло (и, надеюсь, остались довольны).
Надеюсь, что этот конспект будет кому-нибудь полезен. Обратная связь приветствуется.
в продолжение темы суммирования бесконечных рядов: «Картинки вычисляют бесконечные суммы» (№1 за 2020 год журнала «Квантик»)
Читать полностью…
https://youtu.be/6zxgbnfV_KM
видеозапись рассказа Евгения Ширяева на семинаре учителей математики в МЦНМО
доп. материалы: http://eshir.ru/innop/ (черновые описания разных математических игровых активностей)
https://www.mscroggs.co.uk/blog/112
в качестве картинок по выходным — вариант математической рождественской открытки (см. тж. внизу варианты прошлых лет)
(по ассоциации с предыдущим, или контринтуитивные объемы сечений)
пусть выпуклое тело в R^n центрально симметрично
наивно кажется, что если его объем большой, то и сечение гиперплоскостью через 0 должно быть достаточно большое (что-нибудь в духе «объем пропорционален средней величине сечения»?..)
но если подумать еще, то становится совершенно непонятно, как что-либо такое доказать
в 1956 году Busemann и Petty задали вопрос, верно ли, что если у первого тела (выпуклого центрально симметричного) объем каждого гиперплоского сечения через 0 больше, чем у второго, то объем первого больше объема второго
в 1975 году Larman и Rogers построили контрпример в размерностях начиная с 12 (потом доказали, что до размерности 4 утверждение верно, а начиная с размерности 5 есть контрпримеры)
https://igorpak.wordpress.com/2024/12/09/concise-functions-and-spanning-trees/
«…if you ask a traditional combinatorialists they would be happy to tell you they they like their area to be trend-resistant. They wouldn’t use these words, obviously, but rather say something about timeless, or beautiful art (…) If you’ve been reading this blog for a while, then you already know how I feel about such backward-looking views. When these win, the area becomes stale, isolated, and eventually ignored by both junior researchers and the “establishment” (…) Personally, I don’t I don’t see this happening in part due to the influence of Theoretical Computer Science (…)
Last year, in the middle of a technical complexity theoretic argument, I learned of a yet another very general direction which seem to have been overlooked. I will discuss it briefly in this blog post…»
выше уже упоминался выпуск 5 второй серии Мат.Просвещения (1960 год)
как и в современном Мат.Просвещении, там публиковались задачи — вот, например, В.И.Арнольд из Москвы задает вопрос (см. скриншот)…
…а вот на вопрос отвечает С.К.Смирнов:
https://www.mathnet.ru/present14521 + https://www.mathnet.ru/present14517
https://математик.цпм.рф/#teachers_lecture_meetup
18 декабря в МИАН будет лекция для учителей Николая Николаевича Андреева о сходствах и различиях трех геометрий (евклидовой, сферической, геометрии Лобачевского)
Умер Сергей Маркелов.
Не помню, кто мне его впервые представил — кажется, это было в 1997 году, когда я был в 9 классе, — но помню, как: вот чел, который может решить любую задачу по геометрии.
Летом 1998 года я ездил под Гамбург на Летнюю конференцию турнира городов. Это такое мероприятие, на котором школьники вникают в некоторый сюжет и размышляют о нём типа не как на олимпиадах, а как взрослые. Мне повезло, что на той конференции был замечательный сюжет, предложенный С. М., но представленный не им, а Михаилом Вялым — о том, что во многих утверждениях евклидовой геометрии можно заменить окружности на параболы с вертикальной осью (случайный пример: если на сторонах треугольника ABC отметить точки A₁, B₁, C₁, то окружности параболы с вертикальными осями AB₁C₁, BA₁C₁, CA₁B₁ имеют общую точку). Мы занимались им с Сергеем Тихомировым и довольно много всего про это поняли, но, кажется, полностью это до сих пор понятно не вполне. Вот наша работа для питерской книжки с С. Т., написанная по следам той конфы.
информация о прощании — на сайте МЦНМО
Читать полностью…
Сергей Маркелов (1976–2024)
Читать полностью…
Отличное изложение!
https://youtube.com/playlist?list=PL8yHsr3EFj53j51FG6wCbQKjBgpjKa5PX&si=shUFlYcCK4Shpq90
в продолжение темы «почти равенств» — пример от J.C.Baez’а
It's a fact about the Jacobi theta functions θ₂ and θ₃ (…). These functions are important in the study of elliptic curves. It's not very hard to show that as x gets bigger and approaches 1, we have θ₂(x) - θ₃(x) → 0. But fact it goes to zero very fast, soЧитать полностью…
|θ₂(4/5) - θ₃(4/5)| ≈ 9.3 × 10⁻¹⁹
We can go on with this game:
|θ₂(9/10) - θ₃(9/10)| ≈ 4.5 × 10⁻⁴⁰
and so on.
картинка по выходным — от Steve Trettel
контекст: https://x.com/stevejtrettel/status/1865127420950647069
калейдоскоп на тему «почти целое» в Кванте №9
Читать полностью…
Hello, guys!
Завтра состоится последняя лекция в JB Math Club в этом году. Я решил сделать ее поучительно-развлекательной и рассказать 7-8 доказательств рождественской теоремы Ферма (о представлении простых чисел вида 4k+1 в виде суммы двух квадратов). А еще мы решили, что можно ее провести в формате общедоступного стрима. Ссылочка на YouTube стрим появится в комментариях завтра за пять минут до начала. Напоминаю, что JB Math Club это мероприятие на английском языке.
Какие доказательства планируется обсудить?
1. Метод спуска, предложенный, видимо, Эйлером
2. Доказательство с помощью леммы Туэ
3. Доказательство с помощью теоремы Дирихле о диофантовых приближениях
4. Доказательство Цагира с визуализацией Спивака
5. Доказательство с помощью теоремы Минковского
6. Доказательство Лагранжа с помощью квадратичных форм
7. Доказательство Дедекинда с помощью гауссовых чисел
8. Доказательство с помощью цепных дробей
Кроме того, по ходу дела мы постараемся обсудить заодно, позволяют ли данные доказательства придумать разумный алгоритм представления числа в виде суммы двух квадратов.
Начало лекции в 17:00 по московскому времени.
Ожидаемая продолжительность лекции 2 часа.
https://kvant.mccme.ru/1989/10/v_tainstvennom_mire_beskonechn.htm
статья Н.Я.Виленкина «В таинственном мире бесконечных рядов» в старом Кванте
https://math.mit.edu/~lguth/Exposition/waist.pdf
в продолжение темы оценки сечений и т.п. — обзор «The waist inequality in Gromov's work» (Larry Guth)
по тому же поводу: /channel/olympgeom/1573
Читать полностью…
https://gilkalai.wordpress.com/2024/12/20/qingyang-guan-joseph-lehec-and-boaz-klartag-solved-the-slice-conjecture/
доказали, что у любого выпуклого тела объема 1 есть сечение гиперплоскостью объема хотя бы C (для некоторой универсальной константы, не зависящей от размерности)
https://geometry.ru/geo_jam.html
в субботу 21.12 будет семинар учителей
выступят А.Д.Блинков, Ю.А.Блинков, Д.Г.Мухин, Д.В.Прокопенко
Вышла еще одна книга Т.Е.Панова "Введение в алгебраическую топологию"
https://biblio.mccme.ru/node/263816
Настоящее издание подготовлено на основе лекционных курсов «Введение в топологию», «Топология-1», «Топология-2» и «Теория гомологий», прочитанных автором на механико-математическом факультете МГУ, в Независимом московском университете и Новосибирском университете.
В первой части рассматриваются основы теории гомотопий: клеточные пространства, фундаментальная группа, накрытия, гомотопическая теория расслоений и высшие гомотопические группы.
Во вторую часть входит теория гомологий: симплициальные, сингулярные и клеточные гомологии, связь с гомотопическими группами клеточных пространств, кольцо когомологий, двойственность Пуанкаре.
https://www.mathedu.ru/text/mp_1960_v5/p101/
перевод статьи «Архитектура математики» Н.Бурбаки во второй серии Мат.Просвещения
S.Markelov. Circles and parabolas
// А.Акопян пишет: «В книжке с картинками есть целая серия задач про параболы, для которых выполняются классические теоремы про окружности. Мало кто знает, но этот трюк обнаружил Серёжа. Сейчас это уже является базой для продвинутых олимпиадных геометров, но тогда это было полной неожиданностью.»
Кажется, что некоторое представление о Сергее и его вкусах в математике можно получить по такой замечательной лекции:
https://www.mathnet.ru/present50
в первой лекции пифагоровы тройки (и рациональная параметризация окружности), потом теорема Безу и ее геометрические следствия, а дальше постепенно рассказывают начала алгебраической геометрии
Читать полностью…
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Bourbaki_1/
ровно 90 лет назад, 10 декабря 1934 года в Café Capoulade в Париже встретились А.Вейль, Картан, Дельсарт, Дьедонне, де Поссель и Шевалле и договорились писать современный курс анализа
и с этого началась история группы Бурбаки
https://amathr.org/vinberg/losev-vinberg/
в серии Винберговских лекций в пятницу (13.12) в 20Msk — Иван Лосев. Quantizations and unitary representations
«The study of unitary representations of Lie groups is a classical subject in Representation theory going back to Gelfand and Harish-Chandra. The main, currently open, problem is to classify the irreducible unitary representations of semisimple Lie groups. Thanks to the work of Kirillov and Kostant the question of classifying the irreducibles fits into Geometric quantization that seeks to produce quantum mechanical systems from classical ones. In my talk I will explain some recent advances in Algebraic (a.k.a. Deformation) quantization of singular symplectic varieties and how they help to understand unipotent representations, an important class of unitary representations that are expected to serve as building blocks. This is based on my solo works as well as joint papers with Dmytro Matvieievskyi, Lucas Mason-Brown and Shilin Yu.»
/channel/mathtabletalks/3276 … /channel/mathtabletalks/3310
в «Математических байках» сегодня видео выше вошло в небольшую прогулку, которая начинается со скатерти Улама и многочлена n²+n+41, а дальше включает в себя разговор про exp(π sqrt(163)), единственность разложения на множители в разных кольцах, j-инвариант, ряды Эйзенштейна, Monstrous Moonshine
Слава Герович. Кухня
и дача: продуктивные
пространства советской
математики