Чат учителей математики

12 Dec 2024 08:02

Более точно:
https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplicative_group_of_integers_modulo_n#General_composite_numbers

More specifically, the Chinese remainder theorem says that if
n = p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} p_{3}^{k_{3}} …,

then the ring Z/nZ is the direct product of the rings corresponding to each of its prime power factors:
Z/nZ ≅ Z/p_{1}^{k_{1}}Z × Z/p_{2}^{k_{2}}Z × Z/p_{3}^{k_{3}}Z …

Similarly, the group of units (Z/nZ)ˣ is the direct product of the groups corresponding to each of the prime power factors:
(Z/nZ)ˣ ≅ (Z/p_{1}^{k_{1}}Z)ˣ × (Z/p_{2}^{k_{2}}Z)ˣ × (Z/p_{3}^{k_{3}}Z)ˣ … .

Чат учителей математики

12 Dec 2024 06:53

Китайская теорема об остатках тут не применима, нужна более сильная теорема о разложении абелевых групп. А она предлагает там две альтернативы:
(Z/4)×(Z/3) ×(Z/5) и (Z/2)^2×(Z/3) ×(Z/5).
Как вы докажете, что тут 2, а не 1?

Чат учителей математики

12 Dec 2024 00:27

Например, по модулю 99 тоже будет цикл (да и по любому основанию, не равному 2^k), но этот цикл уже не охватит всех обратимых остатков.
ϕ(99)=60
По Китайской теореме об остатках, мультипликативная группа обратимых остатков там будет (Z/6)×(Z/10) = (Z/2)×(Z/3) × (Z/2)×(Z/5). Осталось найти их образующие и двойку.

Чат учителей математики

12 Dec 2024 00:23

Как раз читаю про это - перечитываю любимую статью википедии
https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplicative_group_of_integers_modulo_n

Чат учителей математики

12 Dec 2024 00:10

1→2→4→8→7→5→1
Пропущены 3 и 6, потому что они не взаимно-просты с 9.
(Это делители нуля в кольце Z/9, которое не является полем, поскольку 9 не простое число.)

Чат учителей математики

11 Dec 2024 23:36

Те тоже, небось, чередуются

Чат учителей математики

11 Dec 2024 23:34

обычно сходимость к бесконечности обычно определяется просто иначе, без упоминания эпсилон

вообще мне трудно видеть границк между темами старших классов и первого курса, как будто это сильно зависит от школы

Чат учителей математики

11 Dec 2024 23:31

А почему, например, сумма цифр не может стабилизироваться?

Чат учителей математики

11 Dec 2024 23:30

У бесконечности "эпсилон-окрестность" это несколько другое

Чат учителей математики

11 Dec 2024 23:28

По определению предела, в его сколь угодно малую окрестность попадают все члены последовательности, кроме конечного числа. А у нас последовательность из целых чисел

Чат учителей математики

11 Dec 2024 23:26

Я это не совсем понимаю. Что если размер окрестности эпсилон так мал, что там вообще целых чисел нет?

Чат учителей математики

11 Dec 2024 23:18

Но есть конечно рассуждение проще: поначалу наложений нет, а если бы были где-то далеко, то это был бы один из самых удивительных фактов в математике, а о нём до сих пор ничего не слышно.)

Чат учителей математики

11 Dec 2024 23:12

Ой, да.) Ну тогда если у нас сумма по k от n до m, то найдём уникальный встречающийся на этом промежутке простой множитель p, и тогда в расширении с квадратным корнем из p поля, содержащего все остальные квадратные корни, наше произведение дробей имеет по корню из p ненулевую координату.

Чат учителей математики

11 Dec 2024 20:45

Друзья-художники рисовали спираль корней и задались вопросом - наложится ли когда-то одна сторона треугольника на другую? Кажется, что никогда из-за иррациональности корней. Но доказательства не знаю(

Чат учителей математики

11 Dec 2024 19:57

https://problems.ru/view_problem_details_new.php?id=77898

Чат учителей математики

12 Dec 2024 07:00

Вообще вы переусложнили. Остатки циклятся по любому модулю н по ппз. Если 2 обратимо, то предцикл невозможен.
Если степень вхождение 2 в н будет к, то возникнет предцикл к-1

Чат учителей математики

12 Dec 2024 00:36

Это было делать лень. Вместо этого, я спросил Альфу остатки 2^n по модулю 99, и получил цикл длины 30.
n | 2^n mod 99
1 | 2
2 | 4
3 | 8
4 | 16
5 | 32
6 | 64
7 | 29
8 | 58
9 | 17
10 | 34
11 | 68
12 | 37
13 | 74
14 | 49
15 | 98
и поскольку 98=-1, то дальше пойдёт то же самое в зеркальном отражении.

Чат учителей математики

12 Dec 2024 00:24

Понятно, что в двоичной записи последовательность отлично стабилизируется

Чат учителей математики

12 Dec 2024 00:23

Вопрос со звездочкой - как зависит предел от системы исчисления

Чат учителей математики

11 Dec 2024 23:41

Существует утверждение о том, что в числах вида 2^n в начале десятичной записи будет любое натуральное число, если n пробегает натуральные числа. Думаю, что из этого следует расходимость последовательности

Чат учителей математики

11 Dec 2024 23:35

Лучше остатки при делении на 3 смотреть. Они просто чередуются

Чат учителей математики

11 Dec 2024 23:32

Из-за остатков по модулю 9.

Чат учителей математики

11 Dec 2024 23:31

Это если вы рассматриваете топологическое замыкание вещественной прямой. Не очень похоже на школьную тему. Если до этого дошло, то и теорема кронекера не должна быть проблемой.

Чат учителей математики

11 Dec 2024 23:29

Разве первое не включает в себя второе?

Чат учителей математики

11 Dec 2024 23:27

Предела нет и сходится +\infty это разные вещи.

Чат учителей математики

11 Dec 2024 23:22

Почему не сказать, что предела нет, потому что если бы он был, то в любой окрестности содержал числа имеющие разные остатки при делении на 3.

Чат учителей математики

11 Dec 2024 23:13

(Меня поправили, e^ln(A)=1, а не 0, так что нужно доказать, что A не может быть равно 1.)

Чат учителей математики

11 Dec 2024 23:03

Если наложились, то сумма нескольких подряд идущих arctg(sqrt(k)) оказалась кратной 2pi. Арктангенс правильно выражать через логарифм (как и все обратные тригонометрические функции, точно так же как прямые — через экспоненту). Сумма логарифмов — логарифм произведения, Обозначим его через А. Тогда i*ln(A)=2*pi*n (первое предложение), то есть ln(A)=2*pi*i*n, а значит, A=e^ln(A)=0. Но у нас A явно выписано, это произведение нескольких дробей с очевидно ненулевыми числителями.

Чат учителей математики

11 Dec 2024 19:58

Отличное доказательство без теоремы Кронекера, в котором ее доказывают в качестве вспомогательного утверждения.

Чат учителей математики

11 Dec 2024 19:56

Ну, мне надо придумать теперь как обмануть детей не произнося слов "по теореме Кронерека о прастихоспади кузнечике", так что пока сойдёт и так