3536
Математика. Задачи с собеседований и олимпиад. Авторский канал выпускника мехмата, кандидата наук, чьё хобби – ходить по собеседованиям. Для связи: @clean_horizon
Проверка интуиции
Есть такое понятие, как математическое чутьё, когда ответ угадывается ещё до решения. Моё меня подвелоmathreshka/lockers-159">. Расскажите о ваших ожиданиях в опросе.
Задачка – международная классика, необходимые знания – 5 класс.
К слову, в нашем репертуаре есть ещё вот такая задачка про шкафчики.
#олимпиады #классическаязадача
• mathreshka/lockers-159">Шкафчики (#159)
• mathreshka/s-lockers-159">Решение
Предлагаем поделиться рекомендациями книг по теме (впрочем, можно и не только книг!) Начнём с себя.
Нина Дашевская «День числа Пи»
Добрая история про детей и для детей. Математик там солил кофе. Вот ещё понравилось:
Я никогда не знаю – это ещё конец старого дня или уже начало нового? Сам момент, когда 0:00 зажигается. Раньше твёрдо знал, что это следующий день. Но на дедушкином телефоне почему-то вместо этого зажигается 24:00. Я сначала не верил, но однажды он специально разрешил мне не спать, чтобы посмотреть.
Жан-Поль Делайе «Завораживающее число пи»
Что-то энциклоПИдическое. В процессе прочтения, пока интересно.
Среднее время игры
Вот она, значит, какая Медной горы Хозяйка!
П.П. Бажов
После лирического отступления возвращаемся к задачам. Продолжаю делиться наиболее интересными с #интервью в #WorldQuant.
Понравилось, что в этой задаче есть этап поиска оптимальной стратегии, а не полное подчинение случаю.
#тервер
• mathreshka/copper-157">Хозяйка медной горы (#157)
• mathreshka/s-copper-157">Решение
Окружности на собеседовании
Прошлым летом проходил #интервью в #WorldQuant. Принёс с него много задачmathreshka/touching-circles-156">.
Тест проводился на платформе HackerRank. 30 задач на 3 часа. Были даже очень симпатичные, будем постепенно делиться с вами.
На собеседованиях редко проверяют знания школьного курса геометрии. Задача тестирует логику геометрическими концептами.
Теперь представьте, что вы собираете корзину на маркетплейсе. Вас также могут заинтересовать:
– Hoop Dance (#39)
– Круги в квадрате (#44)
#геометрия
• mathreshka/touching-circles-156">Касающиеся окружности (#156)
• mathreshka/s-tangent-circles-156">Решение
– Андрей Николаевич, а вот эта школа Потылихинская – в то время ведь всё экспериментировали... Там вы тоже были подвержены всем этим экспериментам?
– Я был не подвержен, а активно проводил их, например дальтон-план так называемый... И я до сих пор продолжаю считать, что в нём было очень много хорошего. Это такая организация, что преподаватель каждого учебного предмета, например математики, которой обычно в школе занимаются, скажем, 5 часов в неделю и занятия идут со всем классом, когда преподаватель должен сам всё время рассказывать, увлекать своими рассказами, какими-нибудь демонстрациями, – вот таких занятий преподаватель имел всего один час в неделю. А вся остальная деятельность учеников регламентировалась такой карточкой месячного задания: посмотреть в такой-то книжке, прочесть то-то, решать такие-то задачи, попробовать найти какую-нибудь зависимость, изобразить её графически... Так что каждый школьник большую часть школьного времени проводил за своим столиком, шёл в подручные библиотечки вынуть нужную книжку, что-нибудь писал. А преподаватель сидел в уголку, читал, и школьники подходили по очереди, показывали, что они сделали. За месяц — ну, скажем, по математике — таких обращений к учителю получалось несколько десятков. В карточке появлялись такие галочки, что такая-то часть задания выполнена, такая-то выполнена.
Последнее интервью из книги Явление чрезвычайное. Книга о Колмогорове. 1999
1/ Из вводного слова Н.Н. Рычковой к приведённому интервью 1983 года:
И, наконец, мы даже позволили себе во многих местах выделить на печати курсивом слова, на которые Андрей Николаевич сделал особое смысловое ударение. Кто слышал живого Андрея Николаевича, думаем, сразу узнает его манеру излагать свой мысли; кому не довелось - может быть, сможет вернее понять его.
В нашей школе вводится Дальтон-план. Это такая система, при которой шкрабы ничего не делают, а ученику самому приходится всё узнавать.... Как пауки, а мы — мухи
маленькие задачки
прорешал и дал списать автор канала Mathreshka
конкурирую за досуг с мультиками и синтезаторами (кем? чем?) МАТЕМАТИЧЕСКИМИ ЗАДАЧКАМИ
посвящается всем чакам норрисам, которые при несовпадении ответа уверены, что это опечатка в задачнике
а также прочим гениям в синих штанах, гениям-анти, тугодумам (как я), и просто весёлым ребятам, короче, абсолютно всем, кто умеет считать от 1 до 8 — данная подборка из матрёшки
1/ начинаем с чашки кофе
2/ продолжаем прогрев (пока легко)
кстати, после этой задачи меня троллили (типа, СЛИШКОМ легко) задачкой из клиники
3/ ЗЗЗ
что-то в стиле триз
4/ увеличиваем давление в трубах (или в норах)
5/ пасхалка для той, кто поймёт
6/ вот такая задачка для 6-го класса
7/ здесь просто угарный али-баба. думаю сделать его своим маскотом
8/ закольцую этой задачей, чтобы, как после камушка, брошенного в море, эта сансара ещё раз провернулась однажды
Доступ с кворумом
Изучаем стимпанк версию протоколов доступа с кворумом. С электронными системами всё понятно – у каждого свой секрет, программа считает количество предъявленных ключей.
А каковы могли бы быть механические системы подсчёта кворума? Возможно какой-то гений времён да Винчи изобрёл полностью механический пороговый (M-of-N) замок, но с ходу я не нашёл упоминаний.
Одна из возможных реализаций → сегодня
#олимпиады
• mathreshka/safe-153">Ключи от сейфа (#153)
• mathreshka/d-safe-153">Дивертисмент
• mathreshka/s-safe-153">Решение
Частные случаи больших mathreshka/ferma-151">теорем
На мой вкус великая теорема Ферма демонстрирует наибольшую дистанцию между простотой формулировки и сложностью доказательства. Ближайший конкурент – гипотеза о простых числах-близнецах, но она ещё открыта.
Не удержусь от исторической справки. Сама проблема появилась на полях Арифметики Диофанта в 1637. Ферма писал, что нашёл demonstratio sane mirabilis, но поля для выкладок слишком узкие. В 1670 году или спустя пять лет после смерти учёного его сын переиздал Арифметику с маргиналиями отца. Один из экземпляров этого тиража выставлялся недавно на Кристис с оценкой $15-25k. Глядя на его фото, могу лишь сказать, что язык математики в те годы – латынь.
Эндрю Уайлс заявил об окончательном доказательстве и опубликовал его в 1995 году, за что был удостоен абелевской премии в 2016 году ($735k).
В научно-популярном жанре 350-летняя история проблемы излагается в этой книге.
Доказательство нашего варинта великой теоремы доступно школьникам и уж точно поместится на полях.
• mathreshka/ferma-151">Страсти по теореме Ферма (#151)
• mathreshka/d-ferma-151">Дивертисмент
• mathreshka/s-ferma-151">Решение
Задача Пенни о подбрасывании пенни
Наверняка многие из вас решали споры при помощи обычной монетыmathreshka/dc2xkZEQJq7">. Один выбирает орла, второму достаётся решка, оба имеют равные шансы на выигрыш. Как изменится расклад, если разрешить выбирать не просто букву, а слово, то есть некоторую последовательность орлов-решек? На первый взгляд кажется, раз все слова одинаковой длины равновероятны, выбор не имеет значения.
Эта постановка известна как #игра Пенни – по имени Волтера Пенни, описавшего её в 1969 году. Позже о ней писал Мартин Гарднер в своей книге Time Travel and Other Mathematical Bewilderments (1988), а также журнал Квант в статье Лучшее пари для простаков (1987).
Мы предлагаем вам попробовать решить одну из подзадач этой игры. Такие задачи достоверно встречаются в виде брейнтизеров на #интервью в инвестбанки вроде #JPMorgan или фонды вроде #WorldQuant.
Метод, применяемый в решении, достаточно общий, поэтому его идеи полезны далеко за пределами самой задачи. В общем, горячо рекомендуем.
#тервер #классическаязадача #парадокс
• mathreshka/dc2xkZEQJq7">Задача Пенни (#150)
• mathreshka/JZZ3eXmYUmm">Решение
Линейная алгебра в стереометрии
Продолжая контекст предыдущего поста, заходим с козырей, а именно, с самой сложной задачи Московской математической #олимпиады 1993 года для 10-11 классовmathreshka/ADPiUp0h6Fl">.
Условие перекликается с задачей Жук и куб (#55), но тот бедняга не умеет летать. Как следствие, меняется размерность и подход к решению (и сложность!). Идею решения позаимствовали из другой нашей задачи, хотя можно решать и классическими школьными методами.
Витиеватые стереометрические нагромождения побудили меня наконец-то освоить геогебру для чертежей. А вольфрам альфу использую для проверки рутинных символьных действий (типа перемножения многочленов и последующее упрощение). Каков ещё инструментарий современного математика (без ИИ – решать пока хочется самому)?
#геометрия
• mathreshka/ADPiUp0h6Fl">Муха в тетраэдре (#148)
• mathreshka/-LYRj7de2nj">Дивертисмент
• mathreshka/EmM_Oposp0j">Решение
Квантландия возвращается
Рассказываем про бесплатный онлайн-турнир наших друзей из @kvantland. Всё просто:
1/ переходим на сайт турнира
2/ выбираем трек: для 4-6 класса или для 7-9 класса
3/ регистрируемся и решаем задачки
Решать можно в любое удобное время в феврале-марте. Взрослые тоже могут участвовать по фану и вне зачёта:)
Понравился мем:
Новый год снова не будет простым
Немного нумерологии вам в ленту:
2025 = (20 + 25)² =
(1 + 2 + … + 9)² =
1³ + 2³ + … + 9³
Последнее тождество приписывается Никомаху из г. Геразы, греческому математику, жившему во 2-м веке. Это имя я узнал на днях, а в 4-м веке «книга Никомаха была столь же классическою для арифметики, как Евклид для геометрии», как пишет А.В. Васильев в своём историческом очерке про целые числа.
Классические задачи по теории вероятностей
– Какова вероятность встретить на улице динозавра?
– 50 на 50, либо встретишь, либо нет.
Очень люблю задачи, в которых первоначальная интуиция оказывается ошибочнойmathreshka/KkeLf9x-r45">. Сегодня предлагаем поупражняться в теории вероятностей, решая классическую олимпиадную задачу (по ощущениям, начиная с 9-го класса). Авторство мне неизветсно, но самое раннее упоминание, которое удалось найти относится к 2001-му году на сайте родного мехмата. Поделитесь в комментариях, если вдруг владеете более ранним источником.
В этот раз мы к вам с ещё одним анонсом. В нашем канале перемешаны два ключевых направления «собеседовательное» и олимпиадное (фильтровать можно по хэштэгам #интервью и #олимпиады соответственно). Ответственный за олимпиадное направление делится своими ассоциациями и мыслями по задачам в разделе Дивертисмент.
#тервер #классическаязадача
• mathreshka/KkeLf9x-r45">Сумасшедшая старушка
• mathreshka/zP0_lOrn1c0">Дивертисмент
• mathreshka/VGcqX5dC4oq">Решение
С новым учебным годомmathreshka/kiyoPBlMC63">
В прошлом году я преподавал в RSM 5-му и 7-му классам олимпиадную математику. Или как у них говорят, competition mathematics. Очень был рад, что начало сезона у олимпиадников идёт со сдвигом в пару недель относительно стандартной программы. Ну а теперь уже привычка.
Итак, возвращаемся с летних каникул к любимой теме соавтора Матрёшки – клетке. Очевидная шахматная аналогия не всегда помогает в решении задач по примеру сегодняшней.
А если вам вдруг захотелось поупражняться в задачах на клетчатой бумаге, то вот наша коллекция:
– Клеточный отбор (#30)
– Столбец квадратов (#54)
– Баги (#56)
– Дно коробки (#62)
– Робот на шахматной доске (#71)
и другие…
• mathreshka/kiyoPBlMC63">Прямоугольники на доске 10х10
• mathreshka/1ctEjOqxrgY">Решение
Шахматные задачи
Кроме математики мы также любим шахматы. Сегодня открывается турнир претендентов (и претенденток), который пройдёт в Торонто с 3 по 23 апреля. Победитель турнира сыграет матч за титул с действующим чемпионом мира по шахматам Дин Лижэнем. По этому поводу предлагаем вам решить авторскую задачу. Попутно также отметим, что шахматные задачи можно разделить на два типа:
– собственно шахматные, использующие полный набор правил и тренирующие навыки игры (например, как сегодняшняя)
– математические / логические, использующие некоторую шахматную механику, но решения которых лежат вне плоскости игры (например, как эта)
#шахматы #авторская
Условие (№140)
Какое максимальное количество ферзей можно получить на шахматной доске, играя по правилам? Какое максимальное количество фигур может присутствовать на доске в этот момент?
• Решение
Золотое сечение
Не ругайтесь. Такое дело!
Не торговец я на слова.
Запрокинулась и отяжелела
Золотая моя голова.
С.Е.
Не искушён в геометрии, поэтому удивлён неожиданным проявлением гармонии Да Винчи в задаче. Мнения матёрых геометров приветствуются (как и всех)mathreshka/t-pentagon-158">.
Референс по теме оставлю такой.
#геометрия
• mathreshka/t-pentagon-158">Площадь пятиугольника (#158)
• mathreshka/d-pentagon-158">Дивертисмент
• mathreshka/s-pentagon-158">Решение
PDF to LaTeX
Друзья, спасибо! У нас здесь целая ТеХническая бригада как минимум в 100 человек!
Помню, как у меня на третьем (?) курсе мехмата был зачёт по латеху. Студент получал страницу электронного документа и должен был её точь-в-точь затехать. А-ля ревёрс инжениринг. Преподователь доставал лупу (программную, хотя сразу вспоминается мем) и сверял попиксельно исходный файл и выход компилятора. Если нас читают студенты мехмата, пожалуйста, поделитесь, как это происходит сейчас?
Прошло 20 лет. Сделал приложение, которое конвертит PDF в тех-файлы. Возможно, кому-то пригодится. Есть нюансы: апп десктопный, для установки нужен хром. Обсуждать, ругать и хвалить приглашаю под этим постом или по форме обратной связи «Rate us».
С наступающим 2026
Дорогие! Огроменское вам СПАСИБО! В этом году мы чувствовали от вас беспрецедентно мощную поддержку! 🤗
Кладём вам под ёлку нашу праздничную задачку.
• mathreshka/ny-2026">За новогодним столом (#155)
• mathreshka/d-ny-2026">Дивертисмент
• mathreshka/s-ny-2026">Решение
Из воспоминаний о Колмогорове
Среди задачек, придуманных шестилетним Андреем, была задача о пуговицах – сколькими способами можно пришить пуговицу.
«Пуговицы должны были сами себе пришивать. Так что задача, так сказать, происходила «из практики». Мне особенно нравились два способа – из двух параллельных черточек и крестиком. Вообще-то довольно много способов... Естественно, чтобы все дырочки были использованы: прямоугольный треугольничек с пустой дыркой не признавался, конечно.»
В.М. Тихомиров. Слово об учителе
• mathreshka/button-154">Пуговица (#154)
• mathreshka/s-button-154">Решение
Выступаю в жанре подборок в канале про детство моего дорогого друга Аси
aka
Редакторка и продюсерка в медиа и образовании. Запустила детское приложение с подкастами «Гусьгусь», издавала «Учебник Т—Ж», делала детские лагеря «Арзамаса», преподавала медиа и подкасты в ВШЭ, Новой школе и проекте «Каскад»
др∞
«Про зря вля вля сдине мраш деня про зря вля вля вля!»
Пух с восхищением посмотрел на эту надпись.
— Я тут написала: «Поздравляю с днём рождения», — небрежно заметила Сова.
Аmathreshka/tort-152">. Милн
Самое время вспомнить первую задачку, открывшую канал 8 лет назад.
А сегодня #геометрия тортов. Оказывается, это целый жанр.
#интервью #SAP #Nokia
• mathreshka/tort-152">Прямоугольный торт (#152)
• mathreshka/s-tort-152">Решение
Навигация по хэштегам
Архитектура ключевых слов неидеальна, но слегка структурирует коллекцию задач.
Секция задач с собеседований
#интервью #[company]
#консалтинг
#финансы
#datascience
Секция #олимпиады
#геометрия
#графы
#игра
#тервер
Прочие маркеры
#классическаязадача
#математикавискусстве
#парадокс
#ребус
#чгк – было и такое
#шахматы
Математические ребусы
Готовил другую задачу для поста, но внезапно мне загадали этот #ребус с пометкой «для 5-го класса». Чуть было не опозорился, но неимоверными потугами я его осилил. Возрастная маркировка по факту оказалась корректной.
Забавно то, что ребус упоминается в сборнике Козловой «Сказки и подсказки» от 2004 года. Как я умудрился про него не знать?
В процессе решения я придумал вариацию этого ребуса во «вселенной спичек».
Это неформатный пост, поэтому всевозможные спойлеры – в комментариях. Отдельно побуждаю маскировать решения и ответы.
Итак, сегодняшний 2-в-1 вам к чашке кофе.
#спички #149
Тасовки
У него спрашивали: «который час», он отвечал: «без пяти минут семёрка».
Пушкин, «Пиковая дама»
Проверим, как хорошо американцы умеют тасовать карты.
Хорошее упражнение – в уме перетасовать по-американски (см. условие задачи) несколько раз колоду хотя бы из 8 карт.
• mathreshka/itrxTkkLa7o">Американская тасовка (#147)
• mathreshka/n5iID9eBSsb">Решение
Страна Оз возвращается
Итак, заключительная часть увлекательной франшизы сегодня на ваших экранахmathreshka/OK_6VIgKJpy">. Если вы пропустили, то рекомендую начать с 1-й серии, а именно с этого поста шестилетней давности. 2-я часть вышла почти два года спустя здесь. Бессменный режиссёрский и актёрский состав.
Хотелось бы здесь оставить некоторый крючок, cliffhanger, с тем чтобы вы непременно ждали продолжения. Возможно ли такое в математике?
#олимпиады #графы
• mathreshka/OK_6VIgKJpy">Солнечные и лунные города страны Оз (#146)
• mathreshka/pf_Sz3dhRCQ">Дивертисмент
• mathreshka/8WAoXiICg7U">Решение
С наступающим 2025
Счастье для всех, даром, и пусть никто не уйдет обиженный!
Стругацкие
Дорогие! Пусть новый год будет для вас счастливым. Всем нам – ❤️ и 🕊
Традиционное, но ничуть не формальное, СПАСИБО за то, что вы с нами!mathreshka/P-6aYifPNvH">
Мы знаем, что среди наших подписчиков есть люди, которые накануне праздников непременно захотят порешать задачки. Понимая нашу ответственность, публикуем.
Пара слов про саму задачу. Наверное, не будет большим спойлером сказать, что в задачах на поиск оптимума, как правило, есть две части:
1/ привести пример решения
2/ доказать, что оно оптимально
Первая часть обычно очень весёлая. Вторая же – наоборот. Поэтому часто её пропускают за «очевидностью». Несмотря на то, что сегодняшняя задачка достаточно известная, например, вот она на бразильской олимпиаде 2005 года, мы не нашли строгого доказательства оптимальности. Среди того, что получилось найти, одни переборы. Нам удалось эту лакуну закрыть весьма эстетично на языке теории графов.
#олимпиады
• mathreshka/P-6aYifPNvH">Фонарик и 8 батареек
• mathreshka/j50Wn6tJ9hX">Решение
Лог(ист)ические задачи
Когда-то я работал в компании #Новатэк, где мы с Коллегой проводили #интервью кандидатов к нам в управление. Среди прочих вопросов на собеседовании был единственный брейнтизер авторства моего Коллеги, который я считаю замечательным по нескольким причинам:
– моделирует реальные рабочие задачи
– простой
– легко ошибиться, если поспешить с ответом
В итоге на данную позицию мы провели очные встречи с 7 претендентами, среди которых только один смог решить. Но я убеждён, что все смогли бы дать правильный ответ, если бы спокойно обдумали задачу.
• mathreshka/RClmxtSoYwz">Перевалка
• mathreshka/e6pFfH7CJwq">Решение
Задача Бернулли-Эйлера о перепутанных письмах
Классическая задача Бернулли-Эйлера формулируется следующим образом.
Формулировка (№141)
Некто написал шесть писем шести различным людям и заготовил шесть конвертов с их адресами. Сколькими способами можно вложить письма в конверты, чтобы ни одно письмо не попало тому лицу, которому оно адресовано?
В качестве реверанса к предыдущему посту проинтерпретируем эту задачу в шахматных терминах: ладья на i-й вертикали и j-й горизонтали будет соответствовать i-му письму, упакованному в j-й конверт. С учётом этого получаем
Эквивалентную формулировку
Сколькими способами на доске 6х6 можно расставить 6 ладей так, чтобы они не били друг друга и не стояли на главной диагонали?
Альтернативная формулировка создаёт новый контекст с сопуствующим инструментарием. Поэтому возможно кому-то будет удобнее решать эту задачу в шахматных терминах.
#олимпиада #классическаязадача
• Решение
Вы думаете, что на собеседованиях при приёме на работу в крупную компанию задают только вопросы, требующие специальных знаний? Это не всегда так). Вот задачка для младших классов, с которой справились далеко не все кандидаты:
Три охотника сварили кашу. Первый дал две кружки крупы, второй — одну, третий — ни одной, но он расплатился семью патронами. Как должны поделить патроны первые два охотника, если все ели поровну?
