4247
Рассказы про разную математику. Архив: http://dev.mccme.ru/~merzon/mirror/mathtabletalks/
В упрощённой модели Юпитеры были "прибиты гвоздями" и не могли двигаться — но почти сразу Xue сделал и совсем честный случай из 4 тел: вот его препринт (первая версия 2014 года), а вот статья в Acta Mathematica, вышедшая в 2020-м. Совсем наши дни!
Читать полностью…
Честно говоря, при взгляде на эту конструкцию мне вспоминается сцена из "Карамболя" в Пин-коде "Смешариков": "Ну кто так бьёт?!".
Потому что и впрямь, очень-очень близкие пролёты, это же почти что абсолютно упругие столкновения! 🙂
Итого — для трёх точечных масс Пенлеве доказал, что уравнение может ломаться только через столкновение точек, для пяти и больше есть пример; оставался собственно случай четырёх тел в без столкновений, как на прямой) варианте.
Оказалось, что для четырёх тел тоже есть пример "разгоняющейся и разлетающейся" системы.
Его построил Jinxin Xue — вот тут их совместная статья с Д. Долгопятом про упрощённую модель, а вот его статья (+препринт 2014 года) с полной конструкцией. И тут потребовалось чуть больше "планетарной хореографии".
Эту конструкцию можно описать как "два Юпитера (Ю1 и Ю2), два астероида (А1 и А2)" — два очень тяжёлых тела, а два очень лёгких (равной массы). В упрощённом варианте тяжёлые тела в пространстве вообще неподвижны — а лёгкие летают между ними туда-сюда.
В любой момент времени один из астероидов обращается вокруг Юпитера Ю2 (по очень низкой орбите, и потому очень быстро), а второй тоже очень быстро летит к Ю1 и обратно (пролетая к нему "почти вплотную"). Когда астероид возвращается, он встречается с тем, который в этот момент обращается вокруг Ю2, пролетая почти вплотную — и они оба (почти как при абсолютно упругом столкновении) меняют свои орбиты.
Система симметрична относительна оси Oz, вдоль которой вверх-вниз движется третья точка; как сверху, так и снизу две "очень сильно эллиптические" двойные системы, в которых точки могут очень-очень сильно сблизиться (и тем самым приблизиться к оси Oz). А дальше (на первом уровне аккуратности) всё почти так же, как и раньше — точка m3 получает сильное ускорение от каждой из этих систем, потому что у неё происходит почти тройное столкновение. А именно, представим себе, что пара m1+m2 сближается сразу за m3, резко её притормаживая и добавляя ей скорость обратно — и разлетается. Работая этаким "ускорителем" (или "ракеткой", или "баскетбольным мячом" в примере выше). Дальше подачу принимает пара m4+m5, отправляет m3 ещё быстрее обратно, и так далее.
Тут нужно отследить, чтобы системы продолжили оставаться "высокоэллиптическими"... Но это уже совсем не тот уровень подробности, в который мне тут хочется углубляться.
Это, конечно, пример вырожденный. Но раз он есть — можно предположить, что пример будет и для настоящих уравнений небесной механики в R^3. И так и есть — и в 1988-м в своей диссертации пример для системы из 5 точек построил Z. Xia (+ статья в Annals!).
Читать полностью…
И из этого уже понятно, как построить пример: берём 4 материальные точки
m1, m2, m3, m4,
в этом порядке, и пусть m3 в сравнении с остальными очень лёгкая, а в самом начале у m1, m2 и m3 будет почти тройное столкновение, из которого m3 вылетает с огромной скоростью v.
Тогда из-за закона сохранения энергии m1 и m2 остаются очень-очень близко друг к другу — откуда-то ведь нужно было взять эту энергию, а больше неоткуда. А из-за закона сохранения импульса эта "двойная система" из m1 и m2 со скоростью порядка v*m3/(m1+m2) полетит влево. В частности, они в ближайшем будущем будут испытывать много-много соударений.
В это время m3 летит к m4, после их соударения улетает обратно — и совсем чуть-чуть варьируя начальные условия, можно добиться, чтобы момент, когда m3 подлетит к m1+m2, был бы опять почти тройным столкновением (точнее, можно сначала подобрать ровно тройное столкновение, а потом сколь угодно слабо от него отступить).
Отступаем совсем чуть-чуть, точку m3 выкидывает "как из пушки" с ещё более огромной скоростью v'>>v, точки m1 и m2 летят влево ещё быстрее, чем раньше, и ещё ближе друг к другу.
Один кадр оттуда "для завлекательности"
(Image credit: 3blue1brown, https://www.youtube.com/watch?v=HEfHFsfGXjs )
Поэтому пока в системе происходят только попарные столкновения — за них динамику можно продолжать, заменяя каждое упругим соударением. В частности — можно запускать и динамику на прямой, где получается смесь между абсолютно упругими соударениями и динамикой притягивающихся точек.
Читать полностью…
А аналогия совсем из небесной механики — это гравитационный маневр, когда станция пролетает мимо какого-нибудь другого небесного тела, и в связанной с ним системе отсчёта просто пролетает по гиперболе (аналог упругого соударения шарика с ракеткой), а в исходной системе отсчёта не только меняет направление, но и модуль скорости.
Кстати, чем более "издалека" мы смотрим, тем точнее аналогия с абсолютно упругим соударением двух шариков. Тут и там есть закон сохранения энергии и закон сохранения момента импульса. Когда два шарика далеко друг от друга — они уже почти не взаимодействуют; так не всё ли равно, как было устроено их взаимодействие — физическим соударением или тяготением?
Ещё интересно, что применяется гравитационный манёвр не только для того, чтобы набирать скорость и улетать далеко от Солнца (самый известный пример — те же Вояджеры), но и чтобы замедлиться: иначе к Меркурию или вообще к Солнцу не добраться, слишком большую скорость нужно сбросить.
(Кажется, осознал я это после статьи Валерии Сироты в "Квантике" про Меркурий, которая как раз с гравитационного манёвра начинается; конечно, когда оно сформулировано, то становится понятно, но как-то я раньше не задумывался, что тормозить тоже нужно так; кстати — текст про гравитационный манёвр [окончание + чуть более вводное начало] у неё там тоже очень хороший.)
И собственно, мы это видим и прямо сейчас — см. траектории солнечного зонда Parker и летящей к Меркурию миссии BepiColombo.
Оказывается, что да! И очень правильная и красивая иллюстрация тут — вот такой опыт: если на улице (!) положить друг на друга баскетбольный и теннисный мяч и уронить, то в результате двойного соударения теннисный мяч подскочит довольно высоко. (NB: не надо это делать рядом с домами/окнами/чем-то легкобьющимся!)
Если вы этого никогда не делали — вот тут роняют стопку из трёх шаров:
https://youtu.be/2UHS883_P60?t=12
http://www.mi-ras.ru/index.php?c=noc2021_2
и 8 же февраля начинается семестр в НОЦ МИАН
Так вот — оказывается, что это действительно возможно!
Читать полностью…
В самом конце стокгольских лекций Пенлеве обсуждает задачу n тел и доказывает, что в задаче трёх тел единственная проблема, которая может возникнуть с продолжимостью решения, это столкновение:
Читать полностью…
Введение к запискам стокгольмских лекций выглядит вполне обычно-типографски:
Читать полностью…
Уже титульный лист интересен — "по приглашению Его Величества короля Швеции и Норвегии"
Читать полностью…
Кстати (на скриншоте теорема из их же работы) — на каждом шаге можно выбрать, какой из двух астероидов вылетает к Ю1. Поэтому "взрывающихся" решений получается (как минимум) целое канторово множество: столько есть последовательностей из А1 и А2, говорящих, на каком шаге какой астероид летит к Ю1.
Читать полностью…
Вот рисунок из статьи J. Xue, D. Dolgopyat в CMP: тут видно, как происходит прилёт, смена орбит "почти столкновением" и вылет следующего астероида.
(Image credit: Jinxin Xue & Dmitry Dolgopyat, Non-Collision Singularities in the Planar Two-Center-Two-Body Problem, Communications in Mathematical Physics, 345 (2016), pages 797-879)
Вот теперь совсем окончание про гипотезу Пенлеве.
Мы уже посмотрели, как сначала в работе Mather и McGehee была предъявлена (мотивирующая то, каким должен быть ответ) вырожденная модель из четырёх точек на прямой, которая, с одной стороны, была пределом небесной механики, а с другой — ломалась не "через столкновение", а так, что предела у траекторий в конечный момент не было — скорости стремились к бесконечности, диаметр системы стремился к бесконечности, часть точек улетала совсем, одна металась туда-сюда. Но эта система ещё была модельной — вырождением настоящей в пределе "точки летают почти по одной прямой, но промахиваются друг мимо друга на бесконечно малую величину".
А потом Z. Xia построил пример начальных условий для уже настоящей системы из пяти материальных точек, в которой решение ломалось без столкновений до последнего момента: две "ракетки"-бинарные системы перекидывают друг другу оставшуюся точку, разгоняя её всё сильнее и сильнее (и сами при этом улетают на бесконечность).
И мне в этом месте по ассоциации вспоминается "линейный магнитный ускоритель" из неодимовых магнитов и шариков (на youtube есть куча видео; вот, например).
И аналогия — причём именно с примером Xia — мне кажется, достаточно хорошая. Потому что что происходит там: точка ускоряется, "упав в потенциальную яму", а потом потенциальная яма резко становится менее глубокой (потому что бинарная система разошлась в стороны от оси), и точка вылетает на (сильно) большей скорости, чем прилетела.
А что происходит в линейном ускорителе? Стальной шарик разгоняется из-за того, что его притягивает магнит. Потом в момент удара его скорость [почти без потерь] передаётся (а-ля колыбель Ньютона) шарику по другую сторону, который дальше и потому в гораздо более мелкой потенциальной яме. Так что после "блока ускорения" шарик имеет большую скорость и энергию, чем до него (правда, шарик уже другой, но такой же).
И даже несколько ускорителей один за другим тут по делу — "ракетки"-бинарные системы же перекидываются мячиком-оставшейся материальной точкой, добавляя ей ещё и ещё скорости и энергии.
Вот тут этот пример схематически изображён:
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Xia%27s_5-body_configuration.png
Дальше m3 опять долетает (со своей сумасшедшей скоростью) до m4, отражается (заодно добавив скорости m4), летит обратно, догоняет m1+m2; ещё чуть-чуть варьируя начальные условия, можно подобрать тройное столкновение, и сколь угодно слабо от него отклониться. В результате чего m3 улетит с ещё более безумной (и сколь угодно большой) скоростью v''>>v', и так далее. И раз скорости можно наращивать сколь угодно сильно — можно попросить, чтобы каждый следующий цикл занимал хотя бы в 2 раза меньше времени, чем предыдущий, и тогда вся система "взрывается" за конечное время (привет Ахиллесу и черепахе).
Итог всех этих соударений — m1 и m2 улетели на бесконечность влево, m4 на бесконечность вправо, а у точки m3 просто нет предела (она колеблется всё сильнее и сильнее).
Так вот — возвращаясь уже к динамике на прямой с учётом притяжения. Mather и McGehee построили пример, в котором система четырёх притягивающихся точек на прямой в конечный момент времени t_* "ломается" не через столкновение (а именно — три из масс разлетаются на бесконечность, предела у четвёртой нет), а во все меньшие моменты испытывала только попарные столкновения.
И ключевой момент это "почти тройное столкновение". Представим себе, что у нас сталкиваются три точки — но не одновременно (ибо это запрещено), а почти одновременно.
Представим себе, что третья точка, которая "чуть-чуть опаздывает" к столкновению, сильно легче первых двух. Тогда в момент, когда первые две разлетаются после столкновения с огромными скоростями (потому что они в этот момент очень близко), им навстречу несётся лёгкая третья. А мы уже видели такой сценарий!
Столкновение — и она получает в несколько раз большую скорость, как теннисный мячик, столкнувшийся с баскетбольным. Часть этой скорости "съест" гравитация, пока точки будут разлетаться обратно, но именно что часть. И в сухом остатке — в почти тройном столкновении третья лёгкая точка может улететь со сколь угодно большой скоростью.
В качестве ответвления — даже если притяжения нет, а только точки движутся по прямой, получается интересная вещь: число соударений в простой конфигурации из стенки (т.е. бесконечной массы) и двух сильно разных масс оказывается связанной с числом π!
Вот статья Г. А. Гальперина об этом — https://www.maths.tcd.ie/~lebed/Galperin.%20Playing%20pool%20with%20pi.pdf — и видео 3blue1brown об этой задаче: https://www.youtube.com/watch?v=HEfHFsfGXjs
В 1975 году появилась работа Mather и McGehee — в которой был построен пример такого странного поведения, но... для системы на прямой.
Естественный вопрос — как это на прямой?! Там же просто произойдёт столкновение и ничего интересного не будет.
Дело в том, что мы можем "вырождать" динамику в R^3: представим себе, что наши материальные точки движутся не совсем идеально по одной и той же прямой, а только очень близко к ней. И вообще, если у нас в R^3 две точки должны были столкнуться — можно чуть-чуть сдвинуть одну из них, чтобы она мимо другой промахнулась (и пролетела по гиперболе). А потом посмотреть, что происходит, когда сдвиг стремится к нулю.
Оказывается, что предел есть, и формулируется очень разумно. А именно, гипербола вырождается в пролёт туда-обратно (угол между её асимптотами стремится к развёрнутому), и в пределе мы получаем абсолютно упругое столкновению (изменение знака скоростей в момент столкновения в системе, связанной с их центром масс).
В качестве прикидки — давайте на секунду представим, что сначала баскетбольный шарик ударился о землю, а уже потом, через долю секунды, об него ударился шарик за ним. Тогда этот меньший шарик отскочит с почти утроенной скоростью!
(выкладки — можно пропустить или сделать самому)
Тогда верхний шарик летит вниз со скоростью v, а баскетбольный уже вверх с той же (почти) скоростью v. А при упругом соударении тяжелого объекта со скоростью u с сильно более лёгким, движущимся ему навстречу со скоростью v, лёгкий отскочит со скоростью (почти) 2u+v: вообще-то нужно переходить в систему центра масс, но когда один из объектов тяжёлый, можно просто перейти в его систему отсчёта. Там лёгкий с какой скоростью (u+v) летит, с такой и отскочит — но в другую сторону, так что возврат в исходную систему отсчёта добавит ещё одно u.
Собственно, это очень хорошо видно, если жонглировать мячиком для пинг-понга, подбивая его снизу ракеткой: если ракетка в момент приёма идёт "вниз", то шарик отскочит с меньшей скоростью, а если вперёд, то с большей.
Давайте я закончу этот рассказ — посмотрим, как именно система уравнений небесной механики может "ломаться" без того, чтобы какие-то два (точечных) тела сталкивались. Для начала — а как вообще такое может происходить?
Пусть у нас есть конечное число материальных точек, которые друг с другом взаимодействуют по закону всемирного тяготения: сила, с которой взаимодействуют две частицы, равна
G m_1 m_2 / r_{12}^2.
Механика классическая, никакой теории относительности (и это важно).
Естественно, есть закон сохранения энергии. Если в какой-то момент у нас все расстояния между частицами не меньше какого-то \eps, а мы знаем полную энергию системы — то это даёт ограничение сверху на кинетическую энергию и потому на скорости частиц, а значит, ограничение снизу на время, в течение которого дифференциальное уравнение "точно не сломается".
Поэтому если система в какой-то момент t_* ломается, то наименьшее расстояние между частицами r_{min}(t) должно в этот момент стремиться к 0.
Но если особенность (т. е. то, как "ломается" решение) не типа столкновения (то есть не такого типа, что у всех частиц есть в этот момент предел, просто у каких-то частиц он совпадает), то у какой-то частицы в этот момент предела быть не должно. Значит, её скорость должна устремиться к бесконечности — а она должна начать "метаться" всё сильнее и сильнее ("как sin(1/x)").
Более того. Как показал в работе ещё 1908 года фон Цейпель (von Zeipel), если особенность не типа столкновения — то "линейный размер" системы (например, максимальное расстояние от точек до центра масс) должен в этот момент устремиться к бесконечности!
Наконец, когда мы приближаемся к моменту особенности — сила, с которой взаимодействуют далеко друг от друга отстоящие тела, на этом (очень маленьком) масштабе времени почти не влияет на их траектории. Так что мы практически смотрим на тела или их почти слипшиеся кластеры, которые могут двигаться только почти по прямым и как-то друг с другом "почти сталкиваться (и разлетаться)".
И — да полноте, а можно ли в такой ситуации обеспечить беготню (хотя бы) одного тела взад-вперёд, которая ещё и должна какие-то тела выбросить на бесконечность за конечное время?
https://ium.mccme.ru/s21/s21.html
в понедельник (8 февраля) начинается семестр в Независимом Московском университете
формат будет смешанный: будут как очные, так и дистанционные¹ занятия; приглашаются, как обычно, все желающие серьезно заниматься; подробности появляются на сайте
¹ в качестве бонуса дистанционных занятий — например, курсы Игоря Пака и Леонида Петрова (которые физически находятся в Америке)
Казалось бы, а что тут такого удивительного, вроде как дифференциальное уравнение и будет продолжаться, пока "не сломается". Но если мы под "столкновением" понимаем, что при приближении к критическому моменту у всех положений тел предел есть, и у хотя бы двух из них он совпадает — то бывает не только это! Возможно, у положения наших материальных точек просто не будет предела в этот момент.
Читать полностью…
А вот сразу за содержанием (которое идёт в конце введения) начинается красота:
Читать полностью…
Биография Пенлеве — тем более: математик, один из создателей аналитической теории дифференциальных уравнений, профессор... А также дважды премьер-министр Франции (причём первый раз — в 1917 году; мягко сказать, не самое простое время).
В скобках — мы сейчас отлично знаем великого математика Анри Пуанкаре; а его двоюродный брат, Раймон Пуанкаре, семь лет... проработал президентом Франции (с 1913 по 1920-й; так что первый раз премьером Пенлеве был при нём).
Чуть-чуть исторического — читаю сейчас "стокгольмские лекции" Поля Пенлеве (Paul Painlevé) :
Читать полностью…
