2576
Рассказы про разную математику. Архив: http://dev.mccme.ru/~merzon/mirror/mathtabletalks/
Давайте я вот к этому добавлю небольшой комментарий. Вот есть числа Рамсея R(k,l): сколько человек нужно взять, чтобы среди них обязательно нашлось или k попарно знакомых, или l попарно незнакомых. И есть стандартная оценка
R(k,l) < 2^{k+l},
доказываемая просто по индукции (ибо R(k,l) <= R(k-1,l)+R(k,l-1) ).
Так вот — более простая версия конструкции из той работы позволяет легко получить эту же оценку. Авторы следят за четырьмя множествами — A, B, X и Y. Давайте вместо этого следить только за тремя: A, B и X. Потребуем, чтобы в любой момент выполнялись « свойства книг »:
- все люди из A попарно знакомы и знакомы во всеми из X;
- все люди из B попарно незнакомы и незнакомы во всеми из X.
Начнём с пустых A и B, а в X поместим всю компанию из 2^{k+l} человек.
И шаг за шагом делаем следующее:
- берём произвольного человека x из X;
- смотрим, кого у него больше в X, знакомых или незнакомых;
- если знакомых — добавляем его в A и оставляем в X только его знакомых (остальных убираем)
- если незнакомых — добавляем его в B и оставляем в X только его незнакомых (остальных убираем).
Каждый шаг уменьшает количество человек в X не больше, чем вдвое. А пока в X есть хоть кто-нибудь, мы можем продолжать.
За k+l-1 шаг или в A соберутся k человек, или в B — l человек. Вот и всё.
Так что — уже такая « детская версия » конструкции авторов с тремя множествами позволяет получить оценку в 2^{k+l}. После чего то, что более аккуратный подход позволит от экспоненты « чуть-чуть » откусить, уже не кажется невероятным (но и обещать заранее такого нельзя, конечно; то, что я тут написал, это скорее первые 5-10% процентов понимания).
https://twitter.com/i/status/1430777572787462152
еще одна картинка специально для тех, кого параболы недостаточно впечатляют
Наконец, можно одновременно запустить два эллиптических колеса, одно, едущее над синусоидой, а другое — под.
Можно их заставить ехать так, чтобы точка касания у них оставалась одной и той же — и отрезок, соединяющий соответствующие фокусы, будет оставаться вертикальным.
Из другого фокуса F’ расстояние до X из таких же соображений будет равно расстоянию от X до горизонтальной окружности, по которой касается другая сфера. А значит, их сумма равна просто расстоянию между этими горизонтальными окружностями, которое всегда одно и то же!
Читать полностью…
И — да, можно. Действительно, давайте катить эллипс-сечение по синусоиде, получающейся из развёртки цилиндра (оболочки колбасы), и начнём так, чтобы они касались в точках, которые соответствовали друг другу до того, как мы цилиндр развернули. Тогда и в любой момент они будут продолжать касаться в соответствующих точках — потому что участки синусоиды и эллипса были просто приложены друг к другу.
(Картинка — разворачиваем цилиндр в синусоиду, из того же видео Математических Этюдов)
https://youtu.be/Y0aOxj5lrKY
сегодняшние картинки по выходным — про то, что на эллиптических колёсах очень удобно ездить по синусоиде
ранее на близкие темы: /channel/mathtabletalks/3966 про квадратные колёса
Есть такая задача: на плоскости отмечено n красных и n синих точек, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой. Всегда ли их можно разбить на (красно-синие) пары так, чтобы отрезки, соединяющие точки в парах, не пересекались друг с другом?
Читать полностью…
Коллеги посмотрели, что будет, если дать GPT4 задачи с ММО. Первый результат интересен, но « в пределах ожидаемого »: задача, пусть и с параметром, но с шагами, естественно связанными с формулировкой. Хотя формулировка « касательные к графикам перпендикулярны, если их коэффициенты наклона обратны с изменением знака », « tangents are perpendicular if their slopes are negative reciprocals », конечно, уже… внушает.
Читать полностью…
Нью-Йоркский музей математики (MoMath) выложил видео, где про эту работу (и то, как они до этого дошли) рассказывают два из четырёх её авторов, Craig S. Kaplan и Chaim Goodman-Strauss:
https://www.youtube.com/watch?v=FkZPMf73qYc
Очень классное!
Рабочие записки: наш с Марком сегодняшний прогресс под кодовым словом « чудо ».
На этой картинке изображены две гистограммы двух распределений, получающихся не самым простым образом. Одна нарисована розовым, а другая голубым. А что всё нарисовано малиновым — так это потому, что распределения на самом деле совпадают.
Вчера мы заметили, что у них одинаковые матожидание и дисперсия. Это, конечно, ещё ни о чём не говорит. Но с учётом того, что они ещё и от параметров зависят, и вот буквально всегда матожидания и дисперсии совпадали — это начинало быть подозрительным. В смысле, что « скорее всего, нет, но проверить надо ».
А сегодня ещё чуть-чуть подумали, и поняли, как это надо проверять. И буквально сразу получилась конструкция, из которой следует, что распределения и впрямь совпадают.
Осталось всё это записать. 🙂
Я давно — три года назад — рассказывал ( /channel/mathtabletalks/1279 ) про её лекцию на ICM-2018: как у холстов возникают свои « отпечатки пальцев », и что мы благодаря этому знаем.
Читать полностью…
Просто красивое: текущие рабочие картинки. Подробности будут, но потом. : )
Читать полностью…
Давайте подумаем. Частота колебаний на разных уровнях энергии может быть разной — вот тут на E=0 (синий график) наложили колебания с E=-1 (малиновый).
Читать полностью…
https://nplus1.ru/material/2023/04/12/diagonal-ramsey
«В комбинаторике прямо сейчас происходит много весьма интересных событий, это одна из самых бурно развивающихся областей математики. Но среди них отдельно выделяется новая работа Марсело Кампоса, Саймона Гриффитса, Роберта Морриса (Рио-де-Жанейро) и Джулиана Сахасрабуде (Кембридж), посвященная оценке чисел Рамсея. В чем с этими числами проблема и как ее недавно решили, рассказывает математик Фёдор Петров, профессор СПбГУ и ведущий научный сотрудник ПОМИ РАН.»
// ранее на ту же тему: /channel/cme_channel/3151
И если из предыдущей картинки синусоиду убрать — то получатся два равных эллипса, катящихся один по другому. А это буквально то, про что коллеги писали!
Читать полностью…
Так вот — мы будем поворачивать эллипс-сечение вокруг касательной к одной из точек, пока он не станет вертикальным. И это всё равно, что отразить его относительно плоскости, проходящей через эту касательную плоскость и центр одной из двух касающихся сфер.
Так вот — при таком отражении фокус-точка касания как раз переходит в точку касания на горизонтальной окружности (а линия к ней становится вертикальной). Вот мы и видим, что ось в фокусе движется по горизонтали.
Так вот: почему фокус будет двигаться горизонтально? Раз мы знаем, что касание всегда будет в соответствовавших друг другу точках на сечении и на границе, то можно просто для каждой из точек эллипса-сечения разворачивать его вертикально вокруг касательной в этой точке.
Давайте вспомним, как доказывается, что сечение цилиндра (или кругового конуса) это эллипс. С двух сторон в цилиндр закидываются равные ему по радиусу сферы (сферы Данделена) — до касания с секущей плоскостью. Точки их касания с плоскостью — это и будут фокусы эллипса.
И тогда расстояние от фокуса-точки касания F до любой точки X сечения это длина касательной из X к сфере — и потому равно длине любой другой касательной из X к сфере, в частности, вертикальной. А это часть вертикального отрезка до горизонтальной окружности, по которой сфера касается цилиндра.
(картинка из « Сфер Данделена », Математические Этюды)
Вдогонку к этому ролику, П. Пушкарь вчера спросил — а можно ли увидеть, что эллипс катится по синусоиде, через сечение цилиндра? Ведь в сечении цилиндра получается эллипс, а если развернуть поверхность цилиндра, то получается синусоида!
(кадр из видео « Синусоида: развёртка цилиндра », Математические этюды)
Решается она так. Ответ — да, можно. Давайте разобьём на пары как угодно; конечно, вполне могут получиться пересечения. Возьмём любые два пересекающихся отрезка [B1,R1] и [B2,R2] и заменим их на [B1,R2] и [B2,R1]. Заметим, что при этом сумма длин всех отрезков уменьшается (сложите два неравенства треугольника!).
Поэтому — будем повторять это до того момента, пока будут пересекающиеся отрезки. И поскольку на каждом шаге сумма длин уменьшается, а всех способов разбивать на пары конечное число, значит, через конечное число шагов всё остановится — и мы получим искомое разбиение.
Можно было сразу сказать, что возьмём разбиение с наименьшей суммой длин, и тогда в нём не может быть пересекающихся отрезков. Но мне хотелось, чтобы появилась именно идея « перестраиваем, и рано или поздно процесс закончится ».
В задаче говорится про конфеты и корни квадратных уравнений. GPT4 переходит к дискриминантам (ладно, это стандартный шаг в смысле корпуса текстов, так что это неудивительно), замечает, что дискриминанты разбиваются на пары одинаковых, и пишет, « the last remaining discriminant must be non-negative to maintain an even number of non-negative discriminants ».
Вот тут у меня слова заканчиваются...
Тем временем, ChatGPT прекрасно справляется с задачами ММО
Читать полностью…
https://arxiv.org/abs/2303.10798
https://cs.uwaterloo.ca/~csk/hat/
D.Smith, J.S.Myers, C.S.Kaplan, C.Goodman-Strauss пишут, что нашли одну плитку, которой можно замостить плоскость, но только апериодически
А В.Ю.Протасов в ЛШСМ два года подряд — в 2015 и в 2016 — читал курсы про обработку/разложение сигналов (как хранить или передавать картинки?). Второй из этих курсов заканчивался как раз всплесками Добеши — а вот картинка из его записок от этих курсов (которые несколько лет назад издали).
Читать полностью…
https://wolffund.org.il/2023/02/07/ingrid-daubechies/
премию Вольфа 2023 года по математике получает Ингрид Добеши за теорию всплесков (вейвлетов) и прикладной гармонический анализ
/channel/sweet_homotopy/1765 и далее — про то, как рисовать тор, зачем ему рога, про складки и сборки…
Читать полностью…
Так вот, давайте увеличивать энергию нашей материальной точки, не переходя через энергию локального максимума — чтобы f не улетела в минус бесконечность. Тогда на « холм » перед пропастью точка будет вкатываться всё дольше — и всё дольше будет с него скатываться. А в пределе, поставив энергию в точности равной локальному максимуму U, мы получим решение, которое и в плюс, и в минус бесконечности будет стремиться к верхней точке « холма »!
(Синий и фиолетовый графики — энергии, которым чуть-чуть не хватает до предельной. Красный — предельное значение.)
Мы почти построили солитон… только вот стремится он на бесконечности не к нулю, а всего лишь к константе.
Если мы запустим в такое поле « шарик » с полной энергией E=0 (зелёная линия) — то он будет колебаться взад-вперёд в потенциальной яме. Это уже лучше — потому что мы всё-таки получим решение, которое просто едет вперёд с постоянной скоростью. Но это не « одна волна », оно периодично и потому отказывается убывать на бесконечности!
Читать полностью…