4290
Рассказы про разную математику. Архив: http://dev.mccme.ru/~merzon/mirror/mathtabletalks/
Давайте я добавлю ещё чуть-чуть про радугу. Вот у нас есть функция «угол, на который луч повернётся от направления, обратного направлению на Солнце», и радуга идёт на угловом расстоянии от этого направления, которое является максимумом этой функции.
Но! Если у функции какое-то значение это максимум, то все остальные значения меньше его. То есть — кроме собственно радуги, внутри неё мы видим ещё и рассеянный каплями под меньшим углом свет. А вот снаружи радуги такого света мы не получаем. Так что небо снаружи радуги — темнее, чем внутри.
Ещё — если свет внутри капли идёт по пути не с одним внутренним отражением («вход/преломление—внутреннее отражение—выход/преломление»), а с двумя, то получается другая функция с другим критическим значением (уже минимумом, а не максимумом, опять же, если отсчитывать от направления, противоположного Солнцу. И так получается вторая (более слабая из-за потерь) радуга.
Опять же, при таком отражении свет может уйти ещё сильнее за вторую радугу (потому что у функции — минимум), но не внутрь. Поэтому самая тёмная полоса, полоса Александера, будет между этими двумя радугами.
Так вот — радуга это 42 градуса от направления, обратного направлению на Солнце. А на первом фото радужный отблеск в небе довольно близко к направлению на Солнце (оно справа на том же фото), так что радугой это быть не может. Так что это гало — получающееся из преломления света в кристалликах льда.
Читать полностью…
Давайте я чуть-чуть добавлю — почему это именно гало, а не радуга. Радуга получается из-за преломления и отражения света в капельках-шариках воды. При этом вообще-то, в зависимости от того, как именно луч входит в шарик, угол, на который преломление и отражение его повернёт, может быть совершенно разным. (Проще всего отсчитывать угол от направления, обратного направлению входа — так отразится луч, прошедший через центр капли.)
Так вот — угол поворота в зависимости от не-центральности входа луча в каплю может быть совершенно разным. Но. У функции «угол поворота в зависимости от места входа в каплю» есть точка максимума. И это значит, что в этом направлении уйдёт гораздо больше лучей, чем во всех остальных!
Гораздо больше — потому что в этом направлении плюс-минус δ идут лучи из «окна входа» размера порядка корень из δ. А для любого другого направления размер окна тоже порядка δ. И корень из δ много больше δ.
Ну и — из-за того, что значение коэффициента преломления зависит от цвета (хорошо, от длины волны 🙂 ), от него зависит и значение этого максимума: красный цвет поворачивает на 42 градуса от обратного направления, а другие чуть-чуть меньше. Вот мы и видим (главную) радугу — образующую дугу с углом ~42 градуса вокруг направления, противоположного направлению на Солнце.
У Математических Этюдов есть прекрасный ролик об этом — https://etudes.ru/etudes/rainbow/ .
В этом году проводится заочный конкурс Турнира городов. Что это такое можно узнать на сайте. На том же сайте уже выложены два набора конкурсных задач в стиле проекта ЛКТГ (Если решить много задач, то можно пройти на саму ЛКТГ). Оба проекта по геометрии. Один продолжает проект с последней ЛКТГ Инварианты Понселе в свете Cool ratio lemma, второй же посвящён Теореме Дезарга об Инволюции, если вы давно хотели узнать что это такое и порешать на это какие-то задачки, то кажется это хороший способ это сделать)
Задачи конкурса.
1. Инварианты Понселе в свете Cool ratio lemma
2. Теореме Дезарга об Инволюции
Митя Филимонов пишет:
На ВДНХ есть очень неплохая лента Мёбиуса огромных размеровЧитать полностью…
https://vdnh.ru/places/landshaftnyy-attraktsion-lenta-mebiusa/
Мы по ней ходили, очень мило - она в сечении буква H, то есть такой рельс, и к этому рельсу прикручена пешеходная дорожка. Начинаешь идти с одной стороны от ленты, проходишь полный круг и оказываешься с другой. Из-за размеров, не успеваешь заметить, как она плавно проворачивается. В общем, хорошо сделано.
Ещё вдогонку: тот же самый мост, но теперь камера сдвигается в сторону — и видно, как (нетривиально) при этом сдвигается муаровый узор.
Upd.: Вот буквально такой сценарий муаров есть в Квантике — см. «Призрачные узоры» !
Давайте я теперь скажу пару слов о том, что происходит. Вообще муары (муаровые узоры) — огромный пласт; мне нравится про них формулировка из Мат. Этюдов: «дополнительный геометрический узор, появляющийся при наложении двух изображений».
Тут мы накладываем две периодические решётки. Если бы поворота не было, а только сдвиг — то итоговая картина бы зависела от этого сдвига. Если сдвиг, скажем, на вектор, входящий в решётку периодов (по горизонтали и по вертикали на целое число клеток одинаковой чётности; например, (2,4)), то картинка относительно прозрачная: белые/прозрачные клетки одна над другой. Если сдвинуть по горизонтали и по вертикали на целое число клеток, но эти числа разной чётности (например, просто на одну клетку по горизонтали), то чёрные клетки одной решётки окажутся строго над белыми/прозрачными клетками другой. И в итоге вся картина станет максимально чёрной.
А за счёт поворота — то, как смещены друг относительно друга центры чёрных и белых клеток в разных частях рисунка, меняется. Но чем меньше угол поворота — тем медленнее (ведь, если поворота вообще нет, то и вектор сдвига везде один и тот же). Поэтому возникает крупномасштабная (относительно размера клеток) структура — светлая там, где белые клетки одна над другой, и тёмная там, где белую клетку закрывает чёрная.
Кстати, если одна из решёток не совпадает с другой, а её чуть-чуть меньше или больше (скажем, отличается умножением на 0.95 или 1.1) — мы увидим крупномасштабную структуру и без поворота. Именно поэтому мы её видим на этой фотографии моста: из решёток ограды одна чуть дальше, другая чуть ближе, поэтому в проекции на какую-нибудь общую «плоскость зрения» мы получаем решётки, отличающиеся растяжением в «отношение расстояний» раз. И вот и возникает крупномасштабная структура.
Более того: именно так работает дополнительная шкала на штангенциркуле! Я об этом узнал от Коли Андреева — а этот ролик Мат. Этюдов и соответствующая страница Мат. Составляющей («Нониус (верньер)»/Измерение штангенциркулем), да и вообще весь этот сюжет, IMHO, известны меньше, чем могли бы быть…
Допустим, что мы хотим измерять что-то с точностью до десятых долей миллиметра. Если бы мы попробовали нанести на штангенциркуль шкалу с шагом в десятую миллиметра — число насечек было бы в 10 раз больше обычного, и хочется сказать, что получилась бы полная каша. Поэтому — давайте на движущейся части штангенциркуля, кроме просто отметки 0, добавим ещё шкалу (точнее, её часть, первые 11 насечек) — с шагом не в 1мм, а в 0.9мм (или в 1.9мм). Тогда у нас есть две шкалы, чуть-чуть отличающиеся масштабом — и можно посмотреть, какое именно деление движущейся шкалы встало ровно напротив деления основной шкалы. Если измеряемое расстояние это целое число миллиметров, то это нулевое деление. Если оно на 0.1мм больше целого, то первое — как раз 0.1мм+0.9мм=1.0мм — целое число. Если на 0.2мм — то второе. И так далее! То есть номер (начиная с нуля) такого деления на дополнительной шкале — это как раз десятые доли миллиметра; и вот так их измеряют — с помощью всего лишь десятка дополнительных делений!
(1/2)
КВАНТИК ФЕСТ 2025
Дорогие друзья, открыта регистрация на Фестиваль журнала «Квантик», который уже в пятый раз пройдёт в Новой школе! В этом году КвантикФест состоится в субботу, 27 сентября, с 12:00 до 17:00.
Фестиваль журнала «Квантик» — отличная возможность получить новые знания через игру. В основном мероприятие рассчитано на учеников 2−8 класса, но мы уверены, что интересное для себя найдут и малыши, и более взрослые участники.
Участие в Фестивале бесплатное. Зарегистрироваться можно по ссылке: https://home.n.school/quantica_festival
Фестиваль откроет традиционная лекция главного редактора журнала «Квантик», Сергея Дориченко. Далее вас ждут игротека «Квантика», игры «Мышематики» от Жени Кац, головоломки Владимира Красноухова и Сергея Полозкова, которые представят сами авторы, станции от учителей Новой школы, книжная ярмарка издательства МЦНМО и многое другое!
Приглашаем школьников, их родителей и учителей!
К вот этому — из схожих историй.
1) Давайте возьмём бумагу в клеточку и раскрасим клетки шахматным образом. А теперь возьмём два таких листа и наложим один из них на другой. Лучше всего — взяв верхний лист не из обычной бумаги, а из прозрачки [прозрачной плёнки для проектора]; ещё можно взять не слишком толстую бумагу, и смотреть на яркий свет на просвет, но так хуже видно. (На бумаге можно распечатать вот эту картинку.)
Пока листы наложены друг на друга без сдвига — ничего интересного не происходит. А что будет, если их начать вращать?
Вот тут — анимированная гифка с ответом. Мне это когда-то вживую показывал Тадаси Токиеда, и это смотрелось очень круто!
2) Ниже — фотография одного моста. Обратите внимание на узор, который возникает на ограде; к нему приводит тот же эффект.
Все ведь видели, что лунное затмение идёт? (Вот уже прямо сейчас, да!)
На всякий случай: в отличие от солнечного затмения (где нужно оказаться в очень удачном месте), чтобы видеть лунное, достаточно просто видеть Луну! Так что — посмотрите на небо!
(А если Луна у вас ещё не взошла, или прямо сейчас сплошная облачность — можно попробовать посмотреть ещё раз чуть позже, затмение длится несколько часов.)
/channel/astroblog/399
https://www.timeanddate.com/eclipse/lunar/2025-september-7
Можно ли в кубе проделать отверстие, в которое пройдет куб большего размера? Как ни странно, можно (попробуйте придумать как и/или посмотрите модель etudes.ru/models/prince-Rupert-cube/ Мат. этюдов).
А на сегодняшней картинке из свежего препринта arxiv.org/abs/2508.18475 — первый, говорят, пример выпуклого многогранника, про который получилось доказать, что он «не рупертов» (нельзя проделать дырку, через которую проходит такой же многогранник чуть большего размера).
(В т.ч. все правильные многогранники являются рупертовыми — но даже для правильного тетраэдра это не то что бы очевидно, попробуйте.)
// via Н.Медведь
Я обещал естественным образом дойти до характеристических функций. Собственно, осталось совсем чуть-чуть: пока что, если у нас случайная величина ξ могла принимать конечное число неотрицательных целых значений — 0,1,2,… с вероятностями p_0, p_1, p_2,… — мы ей сопоставили многочлен-производящую функцию этих вероятностей,
F_ξ(x) = \sum_n p_n x^n.
И оказалось, что если случайные величины ξ и η независимы, то соответствующие функции перемножаются:
F_{ξ+η}(x) = F_ξ(x) F_η(x).
А что, если у нас случайная величина принимает уже все возможные неотрицательные целые значения? Ничего страшного, теперь F_ξ (x) это уже не многочлен, но всё ещё замечательно определённая при |x|<=1 функция, заданная, как сумма ряда (как раз ряд мажорируется просто суммой вероятностей p_n, равных 1).
А если разрешить все целые значения, включая отрицательные? Берём всё то же самое определение (кстати, давайте его ещё в виде математического ожидания запишем):
F_ξ(z) = \sum_n P(ξ=n) z^n = E z^ξ.
Теперь при |z|<1 из-за отрицательных степеней ряд может и разойтись — но при |z|=1 он опять сходится, а это целая единичная окружность на комплексной плоскости! Ну и все те же самые свойства остаются.
Наконец, остаётся последний шаг. А что, если случайная величина принимает уже любые вещественные значения, не обязательно целые? Даже если бы были рациональные — даже z^{1/2}=\sqrt{z} не будет однозначно определён на комплексной плоскости. Но вот если выбрать логарифм, то будет! А логарифм будет чисто мнимым, потому что |z|=1.
Запишем z=e^{it}, и заменим z^ξ на e^{itξ}. Вот мы и получаем классическое определение характеристической функции,
f_ξ(t):= E e^{itξ},
для которого выполняется всё то же самое замечательное тождество: при сложении независимых случайных величин их характеристические функции перемножаются.
К этому: давным-давно хочу написать про лекцию Дональда Кнута ко дню Пи — про неё несколько лет назад писали коллеги.
И начать хочу с той же задачи, с которой начинает Кнут. Бросим две обычные (честные!) игральные кости. Результат может быть от 2 до 12 очков — но (как известно любому игроку в настольные игры!) шанс выкинуть 7 очков (1/6) гораздо больше, чем выкинуть 2 или 12 очков (1/36). Так вот, вопрос:
А нельзя ли сделать такие две кости, чтобы суммарное число очков принимало все значения от 2 до 12 равновероятно?
возьмем какой-нибудь многочлен (от одной переменной) и возведем в большую степень
ну будет непонятное море мономов с большими коэффициентами… но тут уже обсужалось, что полезно сделать в таком случае: построить график
что мы увидим? почему?
под спойлером скрыт пример картинки (конкретно — `list_plot(((2+7*x+x^4+5*x^5)^57).coefficients(),plotjoined=True)`)
(такой иллюстрацией ЦПТ поделился Александр Ч. в комментариях у «Кроссворда Тьюринга»)
🎬 Новое видео о математических бильярдах уже на канале. По мотивам лекции Сергея Маркелова «Открытые проблемы элементарной геометрии». Рекомендую смотреть на крупном экране и с хорошим звуком
#wildmathing #video
Ещё про радугу — пара скриншотов из соответствующего рассказа в «Математической составляющей»,
https://book.etudes.ru/articles/rainbow/#xtra2
Несколько скриншотов со страницы ролика МатЭтюдов про радугу — максимум для красного цвета, близкий, но другой, для оранжевого, комментарий про максимум, собирающиеся в радугу лучи от разных капелек, и итоговая дуга радуги
(Image credit: https://etudes.ru/etudes/rainbow/ )
Вчера из окна поезда видел гало; послал фото Коле Андрееву, немедленно получил в ответ ссылку — https://www.kvant.digital/issues/?query=%D0%B3%D0%B0%D0%BB%D0%BE
Так я узнал, что на новом сайте Кванта есть полнотекстовый поиск по всем старым номерам. :)
А также, что при клике на соответствующие номера в поиске искомые слова в тексте подсвечиваются — что постфактум логично и удобно, но об этом тоже надо было подумать; респект тем, кто это всё делал!
Взаимное расположение корней многочлена и его производной давно интересует математиков, и в целом там всё непросто. В своё время я пытался доказать гипотезу де Брёйна — Шпрингера, что у любой выпуклой функции среднее по корням многочлена не меньше, чем по корням производной, и ничего у меня не вышло — а вскоре после этого вышло у Сени Маламуда, и так умно и коротко, что я до сих пор офигеваю. Потом оказалось, что то же параллельно сделал Раджеш Перейра — вот почему так постоянно происходит, что 55 лет никто не мог доказать, а потом одновременно доказали сразу двое?
Читать полностью…
сегодня Якову Григорьевичу Синаю исполняется 90 лет
пусть здесь будет такой рассказ про его математику
https://www.mathnet.ru/rus/mp837
(Ю.С.Ильяшенко в МатПросвещении-2015)
(2/2)
Кстати, а вот если взять случайный узор, то получается иллюстрация к теореме Шаля: при повороте на маленький угол рядом с центром поворота клетки почти не сдвигаются — так что картинка получается максимально прозрачной. А стоит от этого центра удалиться достаточно, чтобы сдвиг достиг одной клетки — и получается подкидывание двух независимых монеток, и сильно более «серая» картинка. Так что мы видим глазами центр совмещающего узоры поворота — и как он смещается, если параллельно одну из них перенести (spoiler: не как физическая точка!). Попробуйте, это очень интересно смотрится!
Ссылки
* П. Панов, “Как выглядит график синуса?”, Квант, 2020, № 3, 38–41
* Е. Бакаев, “Еще раз о графике синуса”, Квант, 2020, № 4, 11–15
* З. Пятакова, А. Пятаков, “О муарах, оживших иллюстрациях и пользе моделей”, Квант, 2010, № 6, 13–16
* Задача «Узоры двуслойного графена», И. Иванов, elementy.ru, 2014
* Конические сечения: муар, Математические Этюды
* Нониус (верньер), Математические Этюды
* Измерение штангенциркулем, Математическая Составляющая
* Теорема Шаля, Математические Этюды
https://math.hse.ru/announcements/1085274889.html
в понедельник 22.09 в 16:20 на Матфаке ВШЭ (ауд. 427) — А.Ю.Окуньков. Старое и новое о квантовых группах в задачах исчислительной геометрии
Доклад будет введением в круг вопросов, о которых я планирую поговорить на спецкурсе в весеннем семестре. Многие возможно уже слышали, что геометрическая теория представлений позволяет довольно явно решить много задач исчислительной геометрии. В недавнее время, в этой области возникли как новые технические средства, так и новые задачи. Поэтому представляется осмысленным переизложить старую теорию в духе времени. Это будет целью спецкурса, а целью доклада будет понятно объяснить, о чем тут идет речь.
Вживую — распечатал в двух экземплярах (с уменьшением, чтобы область можно было хорошо прижимать рукой), плотно приложил один лист к другому, и оба к окну. Эффект (под спойлером) вполне виден.
Читать полностью…
знаете ли вы, как выглядит график синуса?
если да, то подумайте, какую картинку должен выдать код ниже… а потом посмотрите под спойлером на реальный результат
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.arange(-10, 10, 0.001)
y = np.sin(314*x)
plt.plot(x,y, marker='.', linestyle='none')
plt.show()
склеим стороны 2n-угольника попарно 'с сохранением ориентации' (без перекрутки) — какие поверхности могут при этом получиться?
если у квадрата склеивать соседние стороны, то (топологически) получится сфера, если противоположные — тор
если не думали никогда, как склеить подобным образом 'сферу с 2 ручками' (крендель), то полезно, конечно, задуматься
но еще можно задать вопрос про количества: сколькими способами можно склеить из 2n-угольника сферу с g ручками?
для g=0 после склейки граница превратится в плоское дерево (и наоброт, если обойти вокруг дерева, то можно увидеть границу многоугольника, приклееную к этому дерево — по две стороны с разных сторон каждого ребра)
то есть в роде 0 получаются милые многим числа Каталана — а интересно, что происходит дальше
тут повод сделать паузу и задуматься, как же по склейке понять, какая поверхность получается (требуется рецепт, достаточно конкретный, чтобы даже питон понял)
в следующий раз напишу, думаю, как это перебрать на компутере (ну… для небольших n — всего склеек (2n-1)!!, так что особо далеко так не уйдешь)
давно уже хотел это сделать, а тут нашелся повод
https://kvant.mccme.ru/
архив номеров журнала «Квант» снова работает в штатном режиме
Давайте теперь применим это к исходной задаче. Только для простоты уменьшим число очков на каждой из костей на 1: тогда на каждой из них выпадает от 0 до 5 очков, а сумма при независимом подбрасывании должна быть равномерно распределённой от 0 до 10.
Производящая функция для суммы —
(1/11) * (x^10 + … + x + 1),
и с точностью до множителя-константы (1/11) это сумма (конечной) геометрической прогрессии:
(x^11 -1) / (x-1).
В частности, (комплексные) корни этого многочлена мгновенно находятся: это корни 11-й степени из единицы, кроме собственно x=1.
Теперь — сразу видно, что исходные кости не могут быть одинаковыми: иначе производящая функция распределения суммы очков была бы квадратом многочлена, а у нас все корни простые (а должны были бы все быть чётной кратности).
Но и вообще в произведение двух многочленов пятой степени с вещественными коэффициентами нужная производящая функция не раскладывается. Потому что у этих многочленов были бы вещественные корни (они же нечётной степени!), а у нашего произведения все 10 корней — в комплексной области. Всё!
Правда, случай, если кости пяти- или семигранные и могут быть разными, так сделать уже не получится: многочлены, отвечающие костям, уже чётной степени, и в принципе могло бы быть так, что при каком-то разбиении (пар сопряжённых комплексных) корней на две группы многочлен (x^{2N+1}-1)/(x-1) раскладывался бы в произведение двух сомножителей N-й степени с вещественными положительными коэффициентами. Интересно было бы пройти этот путь до конца (скорее всего, аккуратно доказать невозможность — а если это вдруг возможно, то это очень неожиданно), но, каюсь, над этим я почти не думал.
https://www.mpim-bonn.mpg.de/maninmemorial
конференция памяти Ю.И.Манина (11-15 августа; большинство докладов планируют транслировать)
https://www.mathnet.ru/present50
напомним тж. лекцию С.Маркелова «Открытые проблемы элементарной геометрии» на ЛШСМ-2003 (конечно качество картинки и звука там совсем из других времен…)
напомним также про книгу «Математический Петербург» (редактор-составитель Г.И.Синкевич, научный редактор А.И.Назаров)
электронная версия: https://www.mathsoc.spb.ru/history/MathSPb2ed.pdf / https://www.mathedu.ru/text/matematicheskiy_peterburg_2018/
бумажная книга: https://biblio.mccme.ru/node/130275