4290
Рассказы про разную математику. Архив: http://dev.mccme.ru/~merzon/mirror/mathtabletalks/
Вышла книга Е.Ю.Смирнова и А.А.Тутубалиной "Симметрические функции: начальный курс"
https://biblio.mccme.ru/node/310408
Книга написана по материалам семестрового курса «Симметрические функции», читавшегося авторами в Независимом московском университете и на факультете математики Высшей школы экономики. В ней излагаются как классические, так и недавние результаты о симметрических функциях и их обобщениях, причем основное внимание уделяется комбинаторным аспектам теории. Курс снабжен большим количеством задач и упражнений, ко многим из которых приводятся решения.
Книга адресована студентам и аспирантам математических и физических факультетов, а также широкому кругу читателей, интересующихся математикой.
О, недавний minutephysics тоже о радуге — и о том, что бывает, если капельки будут сильно меньше, чем обычно:
https://www.youtube.com/watch?v=OEQeSrXy-YA
Оказывается, радуга от таких мелких капелек может стать белой (а ещё при промежуточном размере получается повторение радуги — и это не та вторая радуга, которую мы видим обычно)!
в качестве картинки по выходным… нет, не тест Роршаха, а одна из спиралей гауссовых простых (начинаем с 232+277i, встречая гауссово простое поворачиваем на 90 градусов, ждем пока не получится цикл… в данном случае длины 316268)
источник, обсуждение: mathoverflow.net/questions/91423/gaussian-prime-spirals
И ещё:
1) Скриншот соответствующего кусочка из «Математической составляющей», https://book.etudes.ru/articles/rainbow/
2) В январском номере Квантика, https://kvantik.com/issue/pdf/2025-01.pdf , на с. 19 есть фотография, где появляется третья радуга, причём она пересекает вторую (и вопрос, как же такое могло произойти). И да, это очень круто, автору (статьи и фотографии) — Никите Панюнину — большой респект. (А ответ есть в том же номере, на с. 29.)
Давайте я добавлю ещё чуть-чуть про радугу. Вот у нас есть функция «угол, на который луч повернётся от направления, обратного направлению на Солнце», и радуга идёт на угловом расстоянии от этого направления, которое является максимумом этой функции.
Но! Если у функции какое-то значение это максимум, то все остальные значения меньше его. То есть — кроме собственно радуги, внутри неё мы видим ещё и рассеянный каплями под меньшим углом свет. А вот снаружи радуги такого света мы не получаем. Так что небо снаружи радуги — темнее, чем внутри.
Ещё — если свет внутри капли идёт по пути не с одним внутренним отражением («вход/преломление—внутреннее отражение—выход/преломление»), а с двумя, то получается другая функция с другим критическим значением (уже минимумом, а не максимумом, опять же, если отсчитывать от направления, противоположного Солнцу. И так получается вторая (более слабая из-за потерь) радуга.
Опять же, при таком отражении свет может уйти ещё сильнее за вторую радугу (потому что у функции — минимум), но не внутрь. Поэтому самая тёмная полоса, полоса Александера, будет между этими двумя радугами.
Так вот — радуга это 42 градуса от направления, обратного направлению на Солнце. А на первом фото радужный отблеск в небе довольно близко к направлению на Солнце (оно справа на том же фото), так что радугой это быть не может. Так что это гало — получающееся из преломления света в кристалликах льда.
Читать полностью…
Давайте я чуть-чуть добавлю — почему это именно гало, а не радуга. Радуга получается из-за преломления и отражения света в капельках-шариках воды. При этом вообще-то, в зависимости от того, как именно луч входит в шарик, угол, на который преломление и отражение его повернёт, может быть совершенно разным. (Проще всего отсчитывать угол от направления, обратного направлению входа — так отразится луч, прошедший через центр капли.)
Так вот — угол поворота в зависимости от не-центральности входа луча в каплю может быть совершенно разным. Но. У функции «угол поворота в зависимости от места входа в каплю» есть точка максимума. И это значит, что в этом направлении уйдёт гораздо больше лучей, чем во всех остальных!
Гораздо больше — потому что в этом направлении плюс-минус δ идут лучи из «окна входа» размера порядка корень из δ. А для любого другого направления размер окна тоже порядка δ. И корень из δ много больше δ.
Ну и — из-за того, что значение коэффициента преломления зависит от цвета (хорошо, от длины волны 🙂 ), от него зависит и значение этого максимума: красный цвет поворачивает на 42 градуса от обратного направления, а другие чуть-чуть меньше. Вот мы и видим (главную) радугу — образующую дугу с углом ~42 градуса вокруг направления, противоположного направлению на Солнце.
У Математических Этюдов есть прекрасный ролик об этом — https://etudes.ru/etudes/rainbow/ .
В этом году проводится заочный конкурс Турнира городов. Что это такое можно узнать на сайте. На том же сайте уже выложены два набора конкурсных задач в стиле проекта ЛКТГ (Если решить много задач, то можно пройти на саму ЛКТГ). Оба проекта по геометрии. Один продолжает проект с последней ЛКТГ Инварианты Понселе в свете Cool ratio lemma, второй же посвящён Теореме Дезарга об Инволюции, если вы давно хотели узнать что это такое и порешать на это какие-то задачки, то кажется это хороший способ это сделать)
Задачи конкурса.
1. Инварианты Понселе в свете Cool ratio lemma
2. Теореме Дезарга об Инволюции
Митя Филимонов пишет:
На ВДНХ есть очень неплохая лента Мёбиуса огромных размеровЧитать полностью…
https://vdnh.ru/places/landshaftnyy-attraktsion-lenta-mebiusa/
Мы по ней ходили, очень мило - она в сечении буква H, то есть такой рельс, и к этому рельсу прикручена пешеходная дорожка. Начинаешь идти с одной стороны от ленты, проходишь полный круг и оказываешься с другой. Из-за размеров, не успеваешь заметить, как она плавно проворачивается. В общем, хорошо сделано.
Ещё вдогонку: тот же самый мост, но теперь камера сдвигается в сторону — и видно, как (нетривиально) при этом сдвигается муаровый узор.
Upd.: Вот буквально такой сценарий муаров есть в Квантике — см. «Призрачные узоры» !
Давайте я теперь скажу пару слов о том, что происходит. Вообще муары (муаровые узоры) — огромный пласт; мне нравится про них формулировка из Мат. Этюдов: «дополнительный геометрический узор, появляющийся при наложении двух изображений».
Тут мы накладываем две периодические решётки. Если бы поворота не было, а только сдвиг — то итоговая картина бы зависела от этого сдвига. Если сдвиг, скажем, на вектор, входящий в решётку периодов (по горизонтали и по вертикали на целое число клеток одинаковой чётности; например, (2,4)), то картинка относительно прозрачная: белые/прозрачные клетки одна над другой. Если сдвинуть по горизонтали и по вертикали на целое число клеток, но эти числа разной чётности (например, просто на одну клетку по горизонтали), то чёрные клетки одной решётки окажутся строго над белыми/прозрачными клетками другой. И в итоге вся картина станет максимально чёрной.
А за счёт поворота — то, как смещены друг относительно друга центры чёрных и белых клеток в разных частях рисунка, меняется. Но чем меньше угол поворота — тем медленнее (ведь, если поворота вообще нет, то и вектор сдвига везде один и тот же). Поэтому возникает крупномасштабная (относительно размера клеток) структура — светлая там, где белые клетки одна над другой, и тёмная там, где белую клетку закрывает чёрная.
Кстати, если одна из решёток не совпадает с другой, а её чуть-чуть меньше или больше (скажем, отличается умножением на 0.95 или 1.1) — мы увидим крупномасштабную структуру и без поворота. Именно поэтому мы её видим на этой фотографии моста: из решёток ограды одна чуть дальше, другая чуть ближе, поэтому в проекции на какую-нибудь общую «плоскость зрения» мы получаем решётки, отличающиеся растяжением в «отношение расстояний» раз. И вот и возникает крупномасштабная структура.
Более того: именно так работает дополнительная шкала на штангенциркуле! Я об этом узнал от Коли Андреева — а этот ролик Мат. Этюдов и соответствующая страница Мат. Составляющей («Нониус (верньер)»/Измерение штангенциркулем), да и вообще весь этот сюжет, IMHO, известны меньше, чем могли бы быть…
Допустим, что мы хотим измерять что-то с точностью до десятых долей миллиметра. Если бы мы попробовали нанести на штангенциркуль шкалу с шагом в десятую миллиметра — число насечек было бы в 10 раз больше обычного, и хочется сказать, что получилась бы полная каша. Поэтому — давайте на движущейся части штангенциркуля, кроме просто отметки 0, добавим ещё шкалу (точнее, её часть, первые 11 насечек) — с шагом не в 1мм, а в 0.9мм (или в 1.9мм). Тогда у нас есть две шкалы, чуть-чуть отличающиеся масштабом — и можно посмотреть, какое именно деление движущейся шкалы встало ровно напротив деления основной шкалы. Если измеряемое расстояние это целое число миллиметров, то это нулевое деление. Если оно на 0.1мм больше целого, то первое — как раз 0.1мм+0.9мм=1.0мм — целое число. Если на 0.2мм — то второе. И так далее! То есть номер (начиная с нуля) такого деления на дополнительной шкале — это как раз десятые доли миллиметра; и вот так их измеряют — с помощью всего лишь десятка дополнительных делений!
(1/2)
КВАНТИК ФЕСТ 2025
Дорогие друзья, открыта регистрация на Фестиваль журнала «Квантик», который уже в пятый раз пройдёт в Новой школе! В этом году КвантикФест состоится в субботу, 27 сентября, с 12:00 до 17:00.
Фестиваль журнала «Квантик» — отличная возможность получить новые знания через игру. В основном мероприятие рассчитано на учеников 2−8 класса, но мы уверены, что интересное для себя найдут и малыши, и более взрослые участники.
Участие в Фестивале бесплатное. Зарегистрироваться можно по ссылке: https://home.n.school/quantica_festival
Фестиваль откроет традиционная лекция главного редактора журнала «Квантик», Сергея Дориченко. Далее вас ждут игротека «Квантика», игры «Мышематики» от Жени Кац, головоломки Владимира Красноухова и Сергея Полозкова, которые представят сами авторы, станции от учителей Новой школы, книжная ярмарка издательства МЦНМО и многое другое!
Приглашаем школьников, их родителей и учителей!
К вот этому — из схожих историй.
1) Давайте возьмём бумагу в клеточку и раскрасим клетки шахматным образом. А теперь возьмём два таких листа и наложим один из них на другой. Лучше всего — взяв верхний лист не из обычной бумаги, а из прозрачки [прозрачной плёнки для проектора]; ещё можно взять не слишком толстую бумагу, и смотреть на яркий свет на просвет, но так хуже видно. (На бумаге можно распечатать вот эту картинку.)
Пока листы наложены друг на друга без сдвига — ничего интересного не происходит. А что будет, если их начать вращать?
Вот тут — анимированная гифка с ответом. Мне это когда-то вживую показывал Тадаси Токиеда, и это смотрелось очень круто!
2) Ниже — фотография одного моста. Обратите внимание на узор, который возникает на ограде; к нему приводит тот же эффект.
Все ведь видели, что лунное затмение идёт? (Вот уже прямо сейчас, да!)
На всякий случай: в отличие от солнечного затмения (где нужно оказаться в очень удачном месте), чтобы видеть лунное, достаточно просто видеть Луну! Так что — посмотрите на небо!
(А если Луна у вас ещё не взошла, или прямо сейчас сплошная облачность — можно попробовать посмотреть ещё раз чуть позже, затмение длится несколько часов.)
/channel/astroblog/399
https://www.timeanddate.com/eclipse/lunar/2025-september-7
Можно ли в кубе проделать отверстие, в которое пройдет куб большего размера? Как ни странно, можно (попробуйте придумать как и/или посмотрите модель etudes.ru/models/prince-Rupert-cube/ Мат. этюдов).
А на сегодняшней картинке из свежего препринта arxiv.org/abs/2508.18475 — первый, говорят, пример выпуклого многогранника, про который получилось доказать, что он «не рупертов» (нельзя проделать дырку, через которую проходит такой же многогранник чуть большего размера).
(В т.ч. все правильные многогранники являются рупертовыми — но даже для правильного тетраэдра это не то что бы очевидно, попробуйте.)
// via Н.Медведь
в пространство несложно вложить окружность разными неэквивалентными способами — а можно ли «завязать в нетривиальный узел» множество Кантора, компоненты связности которого состоят из отдельных точек? кажется очевидным, что нет — и всё же…
картинка по выходным — ожерелье Антуана с обложки Кванта №3 за 1978 год
📚 Переиздана книга Е.Ю.Смирнова "Группы отражений и правильные многогранники".
Брошюра написана по материалам цикла лекций, прочитанных автором на Летней школе «Современная математика» в Дубне 20–26 июля 2008 года.
В брошюре:
☁️ классификация правильных многогранников в евклидовом пространстве произвольной размерности.
☁️ знакомство с группами отражений и системами корней.
Материал лекций иллюстрирует связь геометрии, теории групп и комбинаторики.
Мальчишка, появившийся в 2005...
Друзья-коллеги помнят https://etudes.ru/news/2005/ и поздравляют. Спасибо!
https://vk.com/etudesru?w=wall-192547232_3563
Ну и — вот несколько фотографий двойных радуг, на которых чётко видна разница в яркости неба.
Читать полностью…
Ещё про радугу — пара скриншотов из соответствующего рассказа в «Математической составляющей»,
https://book.etudes.ru/articles/rainbow/#xtra2
Несколько скриншотов со страницы ролика МатЭтюдов про радугу — максимум для красного цвета, близкий, но другой, для оранжевого, комментарий про максимум, собирающиеся в радугу лучи от разных капелек, и итоговая дуга радуги
(Image credit: https://etudes.ru/etudes/rainbow/ )
Вчера из окна поезда видел гало; послал фото Коле Андрееву, немедленно получил в ответ ссылку — https://www.kvant.digital/issues/?query=%D0%B3%D0%B0%D0%BB%D0%BE
Так я узнал, что на новом сайте Кванта есть полнотекстовый поиск по всем старым номерам. :)
А также, что при клике на соответствующие номера в поиске искомые слова в тексте подсвечиваются — что постфактум логично и удобно, но об этом тоже надо было подумать; респект тем, кто это всё делал!
Взаимное расположение корней многочлена и его производной давно интересует математиков, и в целом там всё непросто. В своё время я пытался доказать гипотезу де Брёйна — Шпрингера, что у любой выпуклой функции среднее по корням многочлена не меньше, чем по корням производной, и ничего у меня не вышло — а вскоре после этого вышло у Сени Маламуда, и так умно и коротко, что я до сих пор офигеваю. Потом оказалось, что то же параллельно сделал Раджеш Перейра — вот почему так постоянно происходит, что 55 лет никто не мог доказать, а потом одновременно доказали сразу двое?
Читать полностью…
сегодня Якову Григорьевичу Синаю исполняется 90 лет
пусть здесь будет такой рассказ про его математику
https://www.mathnet.ru/rus/mp837
(Ю.С.Ильяшенко в МатПросвещении-2015)
(2/2)
Кстати, а вот если взять случайный узор, то получается иллюстрация к теореме Шаля: при повороте на маленький угол рядом с центром поворота клетки почти не сдвигаются — так что картинка получается максимально прозрачной. А стоит от этого центра удалиться достаточно, чтобы сдвиг достиг одной клетки — и получается подкидывание двух независимых монеток, и сильно более «серая» картинка. Так что мы видим глазами центр совмещающего узоры поворота — и как он смещается, если параллельно одну из них перенести (spoiler: не как физическая точка!). Попробуйте, это очень интересно смотрится!
Ссылки
* П. Панов, “Как выглядит график синуса?”, Квант, 2020, № 3, 38–41
* Е. Бакаев, “Еще раз о графике синуса”, Квант, 2020, № 4, 11–15
* З. Пятакова, А. Пятаков, “О муарах, оживших иллюстрациях и пользе моделей”, Квант, 2010, № 6, 13–16
* Задача «Узоры двуслойного графена», И. Иванов, elementy.ru, 2014
* Конические сечения: муар, Математические Этюды
* Нониус (верньер), Математические Этюды
* Измерение штангенциркулем, Математическая Составляющая
* Теорема Шаля, Математические Этюды
https://math.hse.ru/announcements/1085274889.html
в понедельник 22.09 в 16:20 на Матфаке ВШЭ (ауд. 427) — А.Ю.Окуньков. Старое и новое о квантовых группах в задачах исчислительной геометрии
Доклад будет введением в круг вопросов, о которых я планирую поговорить на спецкурсе в весеннем семестре. Многие возможно уже слышали, что геометрическая теория представлений позволяет довольно явно решить много задач исчислительной геометрии. В недавнее время, в этой области возникли как новые технические средства, так и новые задачи. Поэтому представляется осмысленным переизложить старую теорию в духе времени. Это будет целью спецкурса, а целью доклада будет понятно объяснить, о чем тут идет речь.
Вживую — распечатал в двух экземплярах (с уменьшением, чтобы область можно было хорошо прижимать рукой), плотно приложил один лист к другому, и оба к окну. Эффект (под спойлером) вполне виден.
Читать полностью…
знаете ли вы, как выглядит график синуса?
если да, то подумайте, какую картинку должен выдать код ниже… а потом посмотрите под спойлером на реальный результат
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.arange(-10, 10, 0.001)
y = np.sin(314*x)
plt.plot(x,y, marker='.', linestyle='none')
plt.show()
склеим стороны 2n-угольника попарно 'с сохранением ориентации' (без перекрутки) — какие поверхности могут при этом получиться?
если у квадрата склеивать соседние стороны, то (топологически) получится сфера, если противоположные — тор
если не думали никогда, как склеить подобным образом 'сферу с 2 ручками' (крендель), то полезно, конечно, задуматься
но еще можно задать вопрос про количества: сколькими способами можно склеить из 2n-угольника сферу с g ручками?
для g=0 после склейки граница превратится в плоское дерево (и наоброт, если обойти вокруг дерева, то можно увидеть границу многоугольника, приклееную к этому дерево — по две стороны с разных сторон каждого ребра)
то есть в роде 0 получаются милые многим числа Каталана — а интересно, что происходит дальше
тут повод сделать паузу и задуматься, как же по склейке понять, какая поверхность получается (требуется рецепт, достаточно конкретный, чтобы даже питон понял)
в следующий раз напишу, думаю, как это перебрать на компутере (ну… для небольших n — всего склеек (2n-1)!!, так что особо далеко так не уйдешь)
давно уже хотел это сделать, а тут нашелся повод
https://kvant.mccme.ru/
архив номеров журнала «Квант» снова работает в штатном режиме