4290
Рассказы про разную математику. Архив: http://dev.mccme.ru/~merzon/mirror/mathtabletalks/
mccme.ru/free-books/dubna/vva-volumes.pdf
biblio.mccme.ru/node/74704
напомним книгу В.А.Васильева «Ветвящиеся объёмы и группы отражений» (по его рассказам на ЛШСМ)
«Рассматривается восходящая к Архимеду и Ньютону задача о зависимости объема, отсекаемого плоскостью от ограниченного тела, от этой плоскости. В частности, мы докажем гипотезу В.И.Арнольда о том, что для тела с гладкой границей в четномерном пространстве этот объем не может алгебраически зависеть от коэффициентов уравнения плоскости, и приведем геометрические препятствия к такой алгебраичности в нечетномерном случае.
В книге рассказано об истории вопроса и о методах, позволяющих решать такие и подобные задачи (включая задачи о разрешимости уравнений в радикалах): теории монодромии, аналитическом продолжении, группах преобразований, порожденных отражениями, и топологии комплексных многообразий.»
Леня @qtasep Петров со товарищи (D.Anderson, G.Panova) «present computational results related to principal specializations of the Schubert polynomials (…). We find the first counterexample, at n=17, to the conjecture of Merzon-Smirnov that the maximal value of S_w(1^n) is obtained at a layered permutation.»
https://lpetrov.cc/2026/03/schubert-computation-sampling/
вполне себе компьютерная математика — при этом не то что бы просто достаточно перебрать в лоб:
This conjecture was exhaustively verified by one of us (DA) for n≤13 in February 2025. (…) In May 2025, Adam Wagner (along with DA and Alejandro Morales) deployed Google DeepMind’s FunSearch to seek counterexamples to Conjecture. For n≤16 the heuristics found by the model did not uncover any counterexamples, providing weak evidence in favor of the conjecture in this range. (For larger n, time constraints limited the power of this method.)
Петя и Вася хотят показать следующий фокус. У зрителей есть пять карточек с числами 1, 2, 3, 4, 5. Две из них они отдают Пете, две — Васе, а одну оставляют себе. Сначала Петя называет число на одной из своих карточек, затем Вася называет число на одной из своих, после чего Петя должен назвать число на карточке у зрителей. Как договориться Пете и Васе, чтобы фокус всегда удавался? (Александр Грибалко)
olimpiada.ru/article/1161
к 50-летию со дня рождения Сергея Маркелова (1976–2024) напомним такую небольшую подборку его задач (с комментариями) с Математического праздника, Московской математической олимпиады, Турнира городов…
mccme.ru/dubna/2026/prepods0.htm
начинается прием заявок на проведение занятий на XXV Летней школе «Современная математика» имени Виталия Арнольда
в этом году, в связи с ремонтом в Ратмино, ЛШСМ проходит под Петербургом
сроки школы обычные: 19–30 июля
прием заявок от желающих участвовать в работе школы студентов и школьников начнется в марте, а пока можно посмотреть материалы прошедших школ — mccme.ru/dubna/courses/
на мат. кружках для начинающих нередко режут какие-нибудь фигуры на уголки из трех клеток
и ясно, что площадь прямоугольника, который можно разрезать, должна делиться на 3… но 3×(2n+1) разрезать нельзя, 3×(2n) разрезать легко — возникает гипотеза, что даже на 6 должно количество клеток делиться
и все же прямоугольник 5×9 на уголки разрезать можно
давно хотел научиться пользоваться SAT-солверами для задач на разрезание и тому подобных дискретных задач, а это пусть будет модельный пример
для базового введения посмотрите лучше вот например https://youtu.be/4K1MyG4ljI8 (спасибо — и не только за это видео! — Саше Куликову), но всё же кратко поясню
SAT-солвер умеет только одно: подбирать значения булевых перменных, чтобы выполнялся набор условий, где каждое условие — выбор из вариантов «такая-то переменная равна такой-то константе»¹
в pycosat условия записываются в духе [1 -3 -4] («x1 or (not x3) or (not x4)»)
в нашей задаче мы заведем по одной переменной для каждого потенциального положения уголка внутри прямоугольника:
placements = []
covers = {}
for shape in TILES:
for i, j in allcells():
cells = [(i+dx, j+dy) for dx, dy in shape]
if all(inside(*cell) for cell in cells):
pid = len(placements) + 1
placements.append(cells)
for cell in cells:
covers.setdefault(cell, []).append(pid)
placements, а в словаре covers для каждой клетки указано, какие есть потенциальные способы ее покрыть
clauses = []
for cell in allcells():
ps = covers.get(cell, [])
clauses.append(ps)
for a, b in combinations(ps, 2):
clauses.append([-a, -b])
solve(clauses) и наслаждаться ответом
https://mccme.ru/free-books/
Дед Мороз напоминает про страницу, на которой бесплатно доступны файлы множества книг (в основном издательства МЦНМО)
брошюры библиотеки «Математическое просвещение» и Летней школы «Современная математика», доклады семинара «Глобус» и материалы выездного семинара учителей, книги Арнольда и Гельфанда, Прасолова и Шеня и многое другое.
новогодние каникулы — как раз хорошая возможность спокойно почитать
С Новым Годом!
Маленький сюжет — два изображения. Каждое по отдельности довольно случайное — если его разрезать на квадратики 2x2, то в каждом квадрате закрашены 2 из 4 пикселей, и для каждого из изображений по отдельности это закрашивание неотличимо от случайного (как если бы в каждом квадратике 2x2 выбирали один из 6 вариантов, кидая честный кубик).
А интересно получается, если наложить эти два изображения друг на друга. Можно физически распечатать их на двух листах бумаги (лучше — с увеличением в 8 раз, но главное, с одинаковым), приложить и посмотреть на просвет. Чтобы увидеть, что «тут что-то есть», можно просто открыть их в одном просмотрщике и быстро переключаться с одного на другое и обратно, глаз заметит, что происходит. Ну а под спойлером в следующем сообщении — результат наложения.
Image credit: В. Протасов, В. Тихомиров, «Куда кривая выведет», Квант, 2025, no. 10.
Читать полностью…
многим рассказывал¹, как нарисовать «ленивый додекаэдр»: взять куб и поделить каждую грань пополам регулярным образом — как раз получится 6×2=12 граней, 8+12=20 вершин (вершины куба и середины его ребер)… вся комбинаторика получается правильная
если хочется еще и правильной геометрии — нужно просто немного всё продеформировать, это и показано в видео
¹ и даже писал в «Квантике» — см. №9 за 2025 год
***
как такое нарисовать и не перетрудиться? начнем с вершин куба — это просто все точки с координатами ±1
from itertools import product
vertices = list(product([-1,1], repeat=3))
v0 = (phi,0,psi)
vertices += [g(v0) for g in G()]
f0 = [(phi,0,-psi),(1,1,-1),(psi,phi,0),(1,1,1),(phi,0,psi)]
faces = [tuple(vertices.index(g(v)) for v in f0) for g in G()]
poly = Polyhedron(vertices, faces)
def G():
for signs in product([-1,1], repeat=3):
for r in range(3):
yield lambda x: tuple(x[(i+r)%3]*signs[i] for i in range(3))
А доказательство теоремы Пифагора на этих карточках — такое, что каждая из частей, на которые квадраты разрезаются, сдвигается параллельным переносом и не поворачивается. (И вопрос про то, какие фигуры можно превратить одну в другую разрезанием на [многоугольные] части и параллельным переносом — мы тут в какой-то момент обсуждали, с ключевым словом «инвариант Хадвигера»)
Читать полностью…
А ещё это замощение коллеги используют для рубашек карточек «Мемори» — https://zadachi.mccme.ru/memory/index.html#124 (можно поиграть прямо на сайте, а я когда-то с огромным удовольствием играл настоящими напечатанными картами).
Кстати — карточки на сайте кликабельны (чтобы можно было увеличить текст; и набор объяснений для фактов там очень хороший, и сумма внешних углов многоугольника, и сумма нечётных чисел, и квадрат суммы, и так далее).
Две точки на плоскости несложно соединить тремя ломаными так, чтобы получилось два равных многоугольника. Соедините две точки четырьмя ломаными так, чтобы все три получившихся многоугольника были равны. (Ломаные несамопересекающиеся и не имеют общих точек, кроме концов.)
// задача Сергея Маркелова с не очень давней Московской математической олимпиады
К этому:
1) текст-комментарий в том же Кванте-1978:
https://www.kvant.digital/view/kvant_1978_3/43/
2) у нас в университете есть отдельный шкаф с разными математическими объектами (там много всякого разного — и кстати, тетраэдр Серпинского для этого видео я брал ровно оттуда). Так вот — ожерелье Антуана (ну, точнее, третий этап его построения) там тоже есть. Более того, их у нас целых два!
На скриншоте — момент вычисления многочлена Шура для диаграммы-уголка из трёх клеток при n=3. На правой доске восемь соответствующих способов заполнить таблицу — и сумма соответствующих мономов.
Понятно, что те, кто этим занимаются, это знают, но я не знал. Забавно!
И лекция дальше тоже интересная, это только самое начало.
https://www.ras.ru/news/shownews.aspx?id=a805da29-0049-4bf1-a388-5da6de8fb2df
поздравляем Виктора Анатольевича Васильева с юбилеем!
Вот раньше в канале было видео, показывающее, что проекция тетраэдра Серпинского вдоль линии, соединяющей середины противоположных рёбер — квадрат. А сейчас коллега мне показал, какая картинка получается, если вдоль этой линии смотреть на тетраэдр, освещённый солнцем сбоку (конечно, тогда проекция получается центральной вместо параллельной, но если глаз/камера телефона достаточно далеко, то щели получаются не очень большими). По-моему, очень симпатично:
Читать полностью…
dev.mccme.ru/~merzon/pscache/markelov-problems.html
еще одна подборка задач Сергея Маркелова
как оценить p(n), количество разбиений числа n в сумму слагаемых (без учета порядка)?
буквально для p(n) явную формулу придумать не получается, но всё сильно упрощается, если наложить дополнительное ограничение «максимальное слагаемое не больше k»
легко сообразить, например, что p₁(n)=1, p₂(n)≈n/2, а чуть напрягшись можно получить и p₃(n)≈n²/12+…
вообще pₖ(n) — это количество целых точек в (k-1)-мерном симплексе x₁+2x₂+…+kxₖ=n — а значит, при больших n это примерно объем этого симплекса, т.е. типа n^{k-1}/{(k-1)!k!} (можно думать, что один факториал берется из формулы объема многомерного симплекса и еще один из произведения сторон, т.е. коэффициентов в уравнении)
левая картинка иллюстрирует, что если n растет, а k фиксировано, то довольно быстро pₖ(n) перестает быть адекватным приближением для p(n) — которое растет, как мы уже видели, быстрее любого полинома (см. тж. /channel/compmathweekly/40 и комментарии там)
всё же можно прикинуть, что раз сторона квадрата площади n равна √n, запрещать слагаемым быть сильно больше √n не должно особо сильно влиять на ответ — и с этим неплохо согласуется правый график
если воспользоваться оценкой типа Стирлинга √n! ~~ (√n/e)^√n, то в прикидках выше вещи типа n^n сокращаются и остается эвристика p(n)~~exp(2с√n)
и это совсем недалеко от правильной асимптотики p(n)~exp(2с√n)/{4√3n}, где c²=1+1/2²+1/3²+…=π²/6
https://youtu.be/FsJvpDnx4Vs
свежее интервью с Денисом Гайцгори
5 января (по старому стилю) 1901 года родился выдающийся человек – Иван Георгиевич Петровский. Математик, уникальный ректор Московского Университета, по некоторым воспоминаниям «совершивший не менее десяти тысяч добрых дел». Пользуясь случаем, напомним некоторые материалы о нём.
Начать, наверное, стоит со статьи Владимира Михайловича Тихомирова (с добавлениями А.А. Кириллова и Э.Э. Шноля) в сборнике «Математическое просвещение» https://www.mccme.ru/free-books/matpros7.html
А вот две видеозаписи воспоминаний Владимира Андреевича Успенского
https://youtu.be/csR_APaxZuU
https://youtu.be/i3aA7uSo3Xw
(В печатном виде некоторые воспоминания В.А. Успенского вошли в статью «Ректоры МГУ» в пятую книгу «Трудов по нематематике» https://mccme.ru/free-books/uspenskii/vau_book5.pdf )
Воспоминания (аудиозапись и текст) ученицы И.Г. Петровского, впоследствии заведовавшей его кафедрой, Ольги Арсеньевны Олейник
http://oralhistory.ru/talks/orh-580
(Обратите внимание и на сам сайт «Устная история»!)
Видеозапись воспоминаний В.А. Успенского и Ю.С. Ильяшенко
https://youtu.be/Zda7IbfHVU0
Документальный фильм 1983 года «Академик И.Г. Петровский»
https://youtu.be/opF5HcgC9GI
Запись выступления Ивана Георгиевича на закрытии Международного математического конгресса 1966 года в Москве
https://youtu.be/PEBFT1bJeew
Некоторые статьи об Иване Георгиевиче можно найти на сайте mathedu.ru https://www.mathedu.ru/indexes/authors/petrovskiy_i_g/.
В 2001 году МГУ выпустило книгу
https://msupress.com/catalogue/books/book/akademik-i-g-petrovskiy-rektor-mgu/
Ну а вот — результат наложения, маленькая чёрно-белая ёлочка. Ещё раз — с Новым Годом!
Читать полностью…
Image credit:
(1) Wikimedia, photo by Rüdiger Marmulla,
(2) Wikimedia, photo by Artem Lepesin
На обложке свежего номера «Кванта» (https://www.kvant.digital/view/kvant_2025_10/p0/ ) — фотография арки в форме перевёрнутой цепной линии в доме Каса Мила, построенном Гауди в Барселоне.
Протасов и Тихомиров в соответствующей статье используют не ту аргументацию для этой формы, которая мне привычна — так что я приведу тут другую. Камни и кирпичи, а главное, скреплящий их раствор гораздо лучше держат напряжение «на сжатие», чем «на излом». Поэтому, если мы хотим построить просто арку — то надёжнее всего она будет, если в любом её месте сила её напряжения будет направлена вдоль арки (и не будет иметь никакой перпендикулярной компоненты).
Давайте перевернём арку — отразив её относительно горизонтальной прямой вместе со всеми силами, которые действуют на каждый кирпичик. И потом у каждой силы изменим знак (красные стрелки на рисунке ниже). Если арка раньше была в равновесии (сумма сил, действующих на каждый кирпичик, равнялась нулю) — она останется в равновесии и сейчас, только теперь все силы напряжения действуют на растяжение вместо сжатия. И это буквально задача о том, как висит цепь — с ответом «цепная линия» (про который я когда-то тут писал, а у Мат. Этюдов о ней есть рассказ — https://etudes.ru/etudes/catenary/ ).
Но Гауди строил и собор Sagrada Familia (Святое Семейство). И изнутри здание поддерживают безумно красивые ветвящиеся колонны. А как можно рассчитать нагрузки — чтобы, опять же, каждой части каждой колонны приходилось бы держать продольную нагрузку без «ломающей» поперечной компоненты?
У Гауди была модель, своеобразный «аналоговый компьютер», построенная по той же самой логике. Это «перевёрнутая» модель собора — с грузиками, моделирующими сам поддерживаемый собор, и верёвочками, моделирующими колонны (и передачу напряжения вдоль них). Я её когда-то видел в музее при соборе вживую (и мне помнится, что тогда под ней было зеркало, переворачивающее её обратно) — а ниже фотография этой модели из Википедии.
Нефроида — именно её (точнее, её половину) вырисовывают лучи Солнца при отражении от стакана на его дне/на поверхности жидкости. Она же получается, как огибающая хорд, соединяющих точку на окружности под углом α с точкой под углом 3α ; у Мат. Этюдов об этом есть отличный рассказ (и отдельно модель, где можно посмотреть на огибающую, используя разное количество точек). А если вместо утроения угла взять удвоение — то огибающей будет кардиоида, и она же получается при отражении солнечных лучей от (конических) стенок кофейной чашки, когда одна из образующих конуса смотрит прямо на Солнце. (И она же — форма главной компоненты множества Мандельброта; см. ролик Mathologer-а: https://youtu.be/qhbuKbxJsk8?t=273 ).
Image credits: карточки (М. Панов), Математические Этюды.
Кстати, к спирали Корню из этих карточек. Она соответствует «мнимому гауссову» интегралу от exp(i π t^2/2) — точнее, тому, как по C=R^2 бежит соответствующая первообразная. И мы похожие картинки когда-то уже видели в связи с гауссовыми суммами!
Читать полностью…
в качестве картинок по выходным — непериодическое замощение Фодерберга, решающее задачу выше
Читать полностью…
Да — ещё: небольшой (рукомахательный) комментарий про ожерелье Антуана. Несложно понять, почему оно задаёт именно канторово множество: потому что возникает обычная для канторова множества структура разделения на всё меньшие и меньшие дизъюнктные замкнутые множества (его покрывают непересекающиеся торы первого порядка, внутри каждого из есть непересекающиеся торы второго порядка, внутри каждого из которых есть непересекающиеся торы третьего порядка, и так далее…).
А почему это — топологически нетривиальное вложение канторова множества в трёхмерное пространство? Потому что, в отличие от стандартного вложения, дополнение к ожерелью Антуана неодносвязно — в нём есть петли, которые нельзя непрерывно стянуть в точку.
Возьмём, например, петлю, обходящую вокруг «главного тора» ожерелья (в дополнении к нему). Докажем, что её стянуть в дополнении к ожерелью нельзя.
Действительно, она не стягивается в дополнении к главному тору, так что, если её стягивать — в какой-то момент она тор пересечёт. Более того, она не стягивается и в дополнении к объединению торов первого порядка. И в дополнении к объединению торов второго. И так далее.
Значит, в процессе деформации она пересечёт объединение всех торов любого порядка n. А тогда (компактность + выделение сходящейся подпоследовательности по времени и по месту пересечения) найдётся и момент, когда она зацепит за пересечение всех таких объединений, то есть за само канторово множество, ожерелье Антуана.
Увидел тут задачу — получить из четырёх шестёрок число 27. Разрешённые операции — четыре арифметические, возведение в степень и извлечение квадратного корня (и можно пользоваться скобками). Долго думал, решил.
Если что:
- Задача абсолютно честная. Никаких «перевернуть шестёрку, чтобы сделать из неё девятку» или ещё чего-то подобного.
- Чем-то напоминает другую: получить из 1, 3, 4 и 6 число 24, если разрешены только четыре арифметические операции и скобки. Тоже абсолютно честную, и тоже (и даже чуть более) сложную. Если вдруг её не видели/не решали — тоже очень советую!
Смотрел недавно запись лекции Е.Ю. — https://www.youtube.com/watch?v=WcVtjQ6Dk08
Очень интересно — я всегда знал, что [симметрические] многочлены Шура можно задать, как отношение двух определителей. В знаменателе — Вандермонд, а в числителе — Вандермондо-подобный определитель, где степени в j-й строке увеличены на λ_j. Как раз и числитель, и знаменатель антисимметричны, так что отношение симметрично.
А тут оказывается, что те же самые многочлены можно задать вообще без определителей, на языке, доступном школьнику. Заполняем диаграмму Юнга λ числами от 1 до n так, чтобы числа строго возрастали в каждом столбце и нестрого — в каждой строке. Получается полустандартная таблица Юнга (SSYT). Каждой такой SSYT сопоставляем моном — перемножая переменные с номерами, которые записаны в клетках. Всё складываем. Утверждается, что как раз получается полином Шура! Хотя вообще-то, даже то, что получится симметрический многочлен, совершенно неочевидно.
