4247
Рассказы про разную математику. Архив: http://dev.mccme.ru/~merzon/mirror/mathtabletalks/
https://kvant.mccme.ru/
архив номеров журнала «Квант» снова работает в штатном режиме
Давайте теперь применим это к исходной задаче. Только для простоты уменьшим число очков на каждой из костей на 1: тогда на каждой из них выпадает от 0 до 5 очков, а сумма при независимом подбрасывании должна быть равномерно распределённой от 0 до 10.
Производящая функция для суммы —
(1/11) * (x^10 + … + x + 1),
и с точностью до множителя-константы (1/11) это сумма (конечной) геометрической прогрессии:
(x^11 -1) / (x-1).
В частности, (комплексные) корни этого многочлена мгновенно находятся: это корни 11-й степени из единицы, кроме собственно x=1.
Теперь — сразу видно, что исходные кости не могут быть одинаковыми: иначе производящая функция распределения суммы очков была бы квадратом многочлена, а у нас все корни простые (а должны были бы все быть чётной кратности).
Но и вообще в произведение двух многочленов пятой степени с вещественными коэффициентами нужная производящая функция не раскладывается. Потому что у этих многочленов были бы вещественные корни (они же нечётной степени!), а у нашего произведения все 10 корней — в комплексной области. Всё!
Правда, случай, если кости пяти- или семигранные и могут быть разными, так сделать уже не получится: многочлены, отвечающие костям, уже чётной степени, и в принципе могло бы быть так, что при каком-то разбиении (пар сопряжённых комплексных) корней на две группы многочлен (x^{2N+1}-1)/(x-1) раскладывался бы в произведение двух сомножителей N-й степени с вещественными положительными коэффициентами. Интересно было бы пройти этот путь до конца (скорее всего, аккуратно доказать невозможность — а если это вдруг возможно, то это очень неожиданно), но, каюсь, над этим я почти не думал.
https://www.mpim-bonn.mpg.de/maninmemorial
конференция памяти Ю.И.Манина (11-15 августа; большинство докладов планируют транслировать)
https://www.mathnet.ru/present50
напомним тж. лекцию С.Маркелова «Открытые проблемы элементарной геометрии» на ЛШСМ-2003 (конечно качество картинки и звука там совсем из других времен…)
напомним также про книгу «Математический Петербург» (редактор-составитель Г.И.Синкевич, научный редактор А.И.Назаров)
электронная версия: https://www.mathsoc.spb.ru/history/MathSPb2ed.pdf / https://www.mathedu.ru/text/matematicheskiy_peterburg_2018/
бумажная книга: https://biblio.mccme.ru/node/130275
В оооочень больших кавычках можно говорить, что выбор подпространств и действия на них линейными преобразованиями над «полем из одного элемента» (которого не существует) превращаются в комбинаторику (выбор k элементов из n) и действие групп перестановок. Но поскольку мне тут для аккуратного рассказа знаний не хватает — чтобы не соврать, я так говорить не буду. 🙂
P.S. Курс Г. Б. Шабата в 2009 году, «Когда 1 = 0…»:
анонс https://old.mccme.ru/dubna/2009/courses/shabat.htm + видеозаписи: https://www.mathnet.ru/present9121
Ещё немного к завтрашней лекции А. П. Веселова — соседняя история про q-деформацию. Возьмём поле F_q из q элементов. И спросим: сколько k-мерных подпространств есть в F_q^{n}?
(Если формулировать другими словами — сколько точек в грассманиане Gr(k,n) над F_q?)
Оказывается, что получается многочлен от q. Но в него можно подставлять не только те значения q, для которых есть соответствующие поля (т.е. степени простых), но и вообще что угодно. Например, q=1. А что мы будем получать?
Например, сколько точек в проективном пространстве P^{n}(F_q) — или, что то же самое, сколько в F_q^{n+1} прямых через 0? Проективное пространство делится на аффинную карту F_q^n, в которой q^n точек, и проективное пространство «точек на бесконечности» на единицу меньшей размерности; по индукции получаем
q^n+q^{n-1}+…+q+1.
В частности, при q=1 этот многочлен равен n+1.
Определение. q-аналогом числа n называется число точек n-1-мерной проективной плоскости P(F_q^n)
[n]_q := q^{n-1}+…+q+1.
Несложно видеть, что k- и n-k-мерных подпространств в F_q^n одинаковое количество (в качестве вещественной ассоциации — можно брать взятие ортогонального дополнения в качестве биекции), поэтому этот же ответ справедлив и для количества (n-1)-мерных подпространств.
Если определить q-факториал по индукции
[0]!=1, [n]!=[n-1]! * [n],
то он соответствует количеству полных флагов : цепочек подпространств
0=V_0 \subset V_1 \subset … \subset V_{n-1} \subset V_{n} = F_q^n,
где V_i — i-мерное.
Наконец, каждое k-мерное подпространство V_k участвует в
[k]! * [n-k]!
полных флагах (потому что нужно продолжить цепочку вниз — это [k]! вариантов — и вверх, их [n-k]!).
Так что точек в грассманиание Gr(k,n) —
[n]! / ([k]! [n-k]!).
При подстановке q=1 получается как раз биномиальный коэффициент!
Если есть два исходных вектора, на которых Q одного знака — можно пойти искать вектора, на которых Q будет другого знака. И «реку Конвея», разделяющую значения разных знаков. И это делается довольно простым спуском.
Скриншоты из лекции Веселова: на первом — спускаемся к реке. На втором — дошли и идём вдоль неё. При этом через какое-то число шагов значения начнут повторяться.
И это позволяет доказать теорему о том, что цепная дробь квадратичной иррациональности периодична!
Я воспользуюсь случаем и порекламирую две другие (классные!) лекции Александра Петровича, «Магия марковских троек» (https://www.mathnet.ru/rus/present17717 ) и «Река Конвея и парус Арнольда» (https://www.mathnet.ru/rus/present21266 ) — и их с В.М. Бухштабером статью «Топограф Конвея, PGL_2(Z)-динамика и двузначные группы», https://www.mathnet.ru/rus/rm9886 .
Читать полностью…
https://www.hse.ru/our/news/1060756848.html
Читать полностью…
5 лет назад был отличный математический флэшмоб #12equations — в т.ч. как раз 22 июня писал про тангенс
…Очень люблю цитату из интервью Гельфанда, «я считал, что есть две математики — алгебраическая и геометрическая, и что геометрическая математика принципиально “трансцендентна” для алгебраической. (…) Когда я обнаружил, что синус можно записать алгебраически в виде ряда, барьер обрушился, математика стала единой».
В отличие от синуса и косинуса ряд для тангенса на первый взгляд выглядит хаотично:
x+x^3/3+2x^5/15+17x^7/315+…
Оказывается, за этим хаосом скрывается отличная комбинаторика…
x = var('x')
taylor = tan(x).taylor(x,0,21)
E = [ taylor.coefficient(x,n)*factorial(n) for n in range(1,22,2) ]
print(E)
пусть нас интересует сумма q^n по всем n на длинном отрезке с целыми концами [a,b]
если число q маленькое, то эта сумма мало отличается от бесконечной суммы q^a+q^{a+1}+…, т.е. от q^a/(1-q)
если, наоборот, число q большое, то сумма примерно равна q^b+q^{b-1}+…, т.е. q^b/(1-q^{-1})
эти два приближенных ответа получены для разных диапазонов q… и тем не менее, если их сложить, то получится не бессмыслица, а точная формула для нашей суммы
упомянутая выше формула Бриона — многомерный аналог того же: вместо суммы по отрезку рассматриваются суммы по многогранникам, а ответ записывается в виде некоторой суммы по вершинам
по картинке можно сообразить, как именно это выглядит для треугольника — или прочитать это в статье
всё это немножко похоже на формулу включений-исключений, только добавлена магия: и вычитать пересечения почему-то не нужно, и складываются ответы, которые (казалось бы) осмысленны для разных диапазонов параметров
Чуть меньше года назад я писал про лекцию Владлена Тиморина для Кроссворда Тьюринга. С тех пор Владлен прочитал курс в ЛШСМ-2024 (по ссылке есть и видеозаписи), а сейчас от этого курса появилась новая версия записок: https://mccme.ru/dubna/2024/notes/timorin-notes.pdf .
А ещё — новая версия появилась и у их препринта, https://arxiv.org/abs/2311.09643v4 . И теперь их теорема полностью закрывает соответствующий вопрос из обзорной лекции Р. Шварца на ICM-2022 (R. Schwartz, Survey lecture on billiards, https://ems.press/books/standalone/276/5474 ) : см. скриншоты.
нравится сюжет Конвея про аналогию между играми и числами
например, игры (скажем, в которых роли противников симметричны, а проигрывает тот, кто не может сделать ход) можно складывать: в G+H играют на двух столах, на одном столе позиция в игре G, на другом — в игре H, каждый раз можно выбрать один из столов и сделать за ним ход
если в H выигрывает второй игрок, то результат у G+H такой же как и в G — это мотивирует объявить все выигрышные для второго игрока игры нулевыми
а вот игры, в которых выигрывает первый, бывают очень разными
если «ним-число» *n — это глуповатая игра «есть кучка из n камней, за ход можно взять любое количество камней из кучки», то *0 действительно нулевая игра, а все остальные *n — различные… и ненулевые )
и игра в четыре кучки камней *1+*3+*5+*7 уже не очень простая (не все персонажи фильма L'Année dernière à Marienbad справились), чтобы научиться в нее играть, хорошо бы изучить таблицу операций с ним-числами
вот такой, например, листок про это: https://dev.mccme.ru/~merzon/v14/pscache/5d-nim.pdf
написал код, который выписывает таблицы сложения и умножения для ним-чисел
def mex(N,arr):
for a in range(N):
if (a not in arr):
return a
return None
N = 2**(2**2)
t_sum = [list(range(N))]
for m in range(1,N):
newline = []
for i in range(N):
# *m+*i = mex{*j+*i,*m+*i'|j<m,i'<i}
arr = [line[i] for line in t_sum] + newline
newline.append(mex(N,arr))
t_sum.append(newline)
print(*t_sum,sep="\n")
t_mul = [[0]*N]
for m in range(1,N):
newline = []
for i in range(N):
# *m.*i = mex{*j.(*i+*i')+*m.*i'|j<m,i'<i}
arr = []
for i1,mi1 in enumerate(newline):
ii1 = t_sum[i][i1]
for line in t_mul:
jii1 = line[ii1] #*j.(*i+*i')
arr.append(t_sum[jii1][mi1])
newline.append(mex(N,arr))
t_mul.append(newline)
print()
print(*t_mul,sep="\n")
Вот-вот начнётся полное лунное затмение (вот карта того, откуда оно видно; image credit: https://www.timeanddate.com/eclipse/map/2025-march-14 ).
Ну и — дежурный контрольный вопрос: исходя только из этого и не смотря на небо, скажите, какая сейчас фаза Луны?
Я обещал естественным образом дойти до характеристических функций. Собственно, осталось совсем чуть-чуть: пока что, если у нас случайная величина ξ могла принимать конечное число неотрицательных целых значений — 0,1,2,… с вероятностями p_0, p_1, p_2,… — мы ей сопоставили многочлен-производящую функцию этих вероятностей,
F_ξ(x) = \sum_n p_n x^n.
И оказалось, что если случайные величины ξ и η независимы, то соответствующие функции перемножаются:
F_{ξ+η}(x) = F_ξ(x) F_η(x).
А что, если у нас случайная величина принимает уже все возможные неотрицательные целые значения? Ничего страшного, теперь F_ξ (x) это уже не многочлен, но всё ещё замечательно определённая при |x|<=1 функция, заданная, как сумма ряда (как раз ряд мажорируется просто суммой вероятностей p_n, равных 1).
А если разрешить все целые значения, включая отрицательные? Берём всё то же самое определение (кстати, давайте его ещё в виде математического ожидания запишем):
F_ξ(z) = \sum_n P(ξ=n) z^n = E z^ξ.
Теперь при |z|<1 из-за отрицательных степеней ряд может и разойтись — но при |z|=1 он опять сходится, а это целая единичная окружность на комплексной плоскости! Ну и все те же самые свойства остаются.
Наконец, остаётся последний шаг. А что, если случайная величина принимает уже любые вещественные значения, не обязательно целые? Даже если бы были рациональные — даже z^{1/2}=\sqrt{z} не будет однозначно определён на комплексной плоскости. Но вот если выбрать логарифм, то будет! А логарифм будет чисто мнимым, потому что |z|=1.
Запишем z=e^{it}, и заменим z^ξ на e^{itξ}. Вот мы и получаем классическое определение характеристической функции,
f_ξ(t):= E e^{itξ},
для которого выполняется всё то же самое замечательное тождество: при сложении независимых случайных величин их характеристические функции перемножаются.
К этому: давным-давно хочу написать про лекцию Дональда Кнута ко дню Пи — про неё несколько лет назад писали коллеги.
И начать хочу с той же задачи, с которой начинает Кнут. Бросим две обычные (честные!) игральные кости. Результат может быть от 2 до 12 очков — но (как известно любому игроку в настольные игры!) шанс выкинуть 7 очков (1/6) гораздо больше, чем выкинуть 2 или 12 очков (1/36). Так вот, вопрос:
А нельзя ли сделать такие две кости, чтобы суммарное число очков принимало все значения от 2 до 12 равновероятно?
возьмем какой-нибудь многочлен (от одной переменной) и возведем в большую степень
ну будет непонятное море мономов с большими коэффициентами… но тут уже обсужалось, что полезно сделать в таком случае: построить график
что мы увидим? почему?
под спойлером скрыт пример картинки (конкретно — `list_plot(((2+7*x+x^4+5*x^5)^57).coefficients(),plotjoined=True)`)
(такой иллюстрацией ЦПТ поделился Александр Ч. в комментариях у «Кроссворда Тьюринга»)
🎬 Новое видео о математических бильярдах уже на канале. По мотивам лекции Сергея Маркелова «Открытые проблемы элементарной геометрии». Рекомендую смотреть на крупном экране и с хорошим звуком
#wildmathing #video
сегодня на ЛШСМ
в 11:15 — В.И.Богачев «Старые задачи иногда решаются (корреляционное неравенство и гипотеза Кантелли)», https://vkvideo.ru/video-65937233_456239369
в 15:30 — С.К.Смирнов «Мозаики, замощения, порядок и хаос», https://vkvideo.ru/video-65937233_456239370
+ два скриншота из дубнинской брошюры Е. Ю. Смирнова, Диаграммы Юнга, плоские разбиения и знакочередующиеся матрицы :
Читать полностью…
И ещё из ссылок: «Квадратичные формы, данные нам в ощущениях» Конвея — классные!
Читать полностью…
Пусть есть квадратичная форма Q(x,y) с целыми коэффициентами — и пусть она не-знакоопределённая. Давайте рассматривать её на решётке Z^2 — сначала со стандартным базисом, а потом будем от базиса (e_1,e_2) переходить к « соседнему », заменяя один из векторов либо на их сумму, либо на их разность. И будем рисовать соответствующую картину на плоскости — области соответствуют (примитивным) векторам решётки, рассматриваемым с точностью до смены знака; отметки в них — значению Q на соответствующих векторах (Q(v)=Q(-v), так что выбор знака вектора неважен), рёбра — разделяют области, пары векторов из которых образуют базис, и ребро, разделяющее области для e_1 и e_2, упирается в области для e_1+e_2 и для e_1-e_2.
Скриншот из статьи Веселова и Бухштабера.
mccme.ru/dubna/2025/
совсем скоро начинается XXIV Летняя школа «Современная математика» имени Виталия Арнольда
по ссылке есть расписание, анонсы курсов
видеозаписи большинства занятий появятся осенью, но большинство пленарных лекций планируется транслировать mccme">в вк-видео
откроется школа лекцией Александра Петровича Веселова про q-числа и их связь с узлами и косами (вск 20.07, 09:30)
https://mccme.ru/free-books/dubna/vva-volumes.pdf
стала бесплатно доступна электронная версия книги «Ветвящиеся объёмы и группы отражений» В.А.Васильева по его рассказам на ЛШСМ
«Рассматривается восходящая к Архимеду и Ньютону задача о зависимости объема, отсекаемого плоскостью от ограниченного тела, от этой плоскости. В частности, мы докажем гипотезу В.И.Арнольда о том, что для тела с гладкой границей в четномерном пространстве этот объем не может алгебраически зависеть от коэффициентов уравнения плоскости, и приведем геометрические препятствия к такой алгебраичности в нечетномерном случае.
В книге рассказано об истории вопроса и о методах, позволяющих решать такие и подобные задачи (включая задачи о разрешимости уравнений в радикалах): теории монодромии, аналитическом продолжении, группах преобразований, порожденных отражениями, и топологии комплексных многообразий.»
можно также купить бумажную книгу:
https://biblio.mccme.ru/node/74704
https://mccme.ru/free-books/dubna/protasov-sinfrac.pdf
стала бесплатно доступна электронная версия книги «Синусоида и фрактал: Элементы теории обработки сигналов и теории всплесков» В.Ю.Протасова по его лекциям на ЛШСМ
«Любой сигнал, будь то звук, изображение или другая функция, никогда не хранится в компьютере по точкам. Это дорого и неэффективно. Сигнал раскладывается в сумму других, «базовых» функций, и хранятся коэффициенты разложения. Главный вопрос — какую систему базовых функций использовать? И как построить хорошую систему, чтобы сигнал быстро и качественно воспроизводился и при этом занимал мало памяти? За это отвечает мощная и красивая математическая теория.
В течение десятилетий базовыми функциями были синус и косинус, что естественно, учитывая природу звука. Это — ряды Фурье, изобретенные более 200 лет назад. Однако, к середине XX века стало ясно, что они не отвечают современным запросам. Поиск новых конструкций, превосходящих ряды Фурье, оказался непростой задачей. Над этим трудилось не одно поколение математиков: функции Хаара, система Шеннона-Котельникова, всплески Мейера и Добеши, …. Новые функции уже не задаются явными формулами, а строятся как решения специальных уравнений. Они не являются гладкими, а, напротив, имеют свойства фракталов и самоподобных фигур. Сейчас они используются повсеместно при работе с фото, аудио и видео файлами, в компьютерной томографии, и т.д. Но математическая теория не стоит на месте…»
можно также купить книгу:
https://biblio.mccme.ru/node/46814
На отрезке AB отметили точку X так, что AX:AB=1:10. После этого отрезок AB разделили на 2^10 равных частей. В каком отношении точка X делит ту часть, на которую попадает?
К предыдущему: по мотивам этого же сюжета Конвея (про аналогию между играми и числами) есть брошюра Пьера Деорнуа, https://old.mccme.ru/free-books/dubna/dehornoy.pdf (восходящая к его дубнинскому курсу и к книгам Конвея «On Numbers and Games» и Berlekamp-Conway-Guy «Winning Ways for Your Mathematical Plays»).
Ну а я в какой-то момент тут чуть-чуть про это писал: см. /channel/mathtabletalks/4361 + /channel/mathtabletalks/4368 + /channel/mathtabletalks/4401
на Московской математической олимпиаде была сегодня такая задача
«У хозяйки есть кусок мяса, которым она хочет накормить трёх котиков. Раз в несколько секунд хозяйка отрезает кусочек мяса и скармливает его одному из котиков на свой выбор, причём каждый кусочек должен составлять одну и ту же долю куска, от которого его отрезают. Через некоторое время хозяйка убирает остаток мяса в холодильник. Может ли она скормить котикам поровну мяса?» (А.Кушнир)
Стороны пятиугольника Понселе продолжили, провели описанные окружности образовавшихся треугольников и отметили их повторные точки пересечения. Тогда при вращении пятиугольника Понселе между вписанной и описанной окружностями данные точки двигаются по фиксированной (синей) окружности:
https://www.geogebra.org/classic/zzckughf