135517
VK: vk.com/physics_math Чат инженеров: @math_code Учебные фильмы: @maths_lib Репетитор IT mentor: @mentor_it YouTube: youtube.com/c/PhysicsMathCode Обратная связь: @physicist_i
😠 Почему в данном физическом эксперименте не удается выдуть шарик из воронки?
На видео можно увидеть, что как бы сильно не дули студенты, у них не получается выдуть шарик. Если воронка расширяется, то это становится практически невозможно, так как возникает влияния одного из самых базовых принципов гидродинамики. Он принцип относится как к воздушным потокам, так и к потокам жидкости. Как только шарик немного отрывается от воронки, то сразу образуется очень тонкий канал между шариком и стенкой. Внутри этого канала воздух движется с больше скоростью (принцип сохранения объемов протекающей массы воздуха при изменении сечения). Далее, попадая в широкую часть, воздух снова занимает больший объем и скорость его потока резко падает. Согласно закону Бернулли, область с меньшей скоростью обладает большим давлением, и наоборот.
Между шариком и стенками скорость намного больше, чем под шариком и над шариком. Значит между шариком и стенками давление ниже, чем над шариком. Разница давлений втягивает шарик внутрь воронки. Возникает сила, прижимающая шарик к сужающейся части, не давая ему улететь.
❓ Можно ли выдуть шарик, чтобы он вылетел вверх из широкой части, если бы мы могли бесконечно увеличивать скорость потока воздуха во входное (узкое) отверстие воронки ? Ваши мысли напишите в комментариях. #задачи #физика #разбор_задач #physics #механика #гидравлика #гидродинамика #science
🔄 Вращение без касания: как газы «передают» движение?
🛩 Аэродинамика крыла: почему самолёт падает, когда «задирает нос»?
💦 Задача: «Вихревая струя космического садовника»
⚙️ Принцип работы гидравлической машины
🟢 Опыт с шариком и прозрачной трубкой, наполненной водой
💨⚾️ Эффект зависания шарика в потоке воздуха
💧 Гидравлика (12 частей)
❌ Незнание физики не освобождает от выполнения её законов
💨 Шарик в потоке жидкости 🟡
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
📘 One Thousand Exercises in Probability Third Edition [2020] Geoffrey Grimmett, David Stirzaker
📕 Теория вероятностей и случайные процессы: сборник задач: 1000 задач с решениями, Гримметт Стирзакер
💾 Скачать книгу
Это, пожалуй, лучший сборник для тех, кто хочет понять, как работает случайность на самом деле — от подбрасывания монетки до финансовых деривативов. Книга — культовое пособие от авторов знаменитого учебника «Probability and Random Processes». В третьем издании собрано более 1000 задач (на самом деле, с учетом подпунктов — за 3000), и каждая из них имеет решение. #математика #теория_вероятностей #подборка_книг #статистика #math🍩 Для донатов на кофе ☕️: +79616572047 (СБП / ВТБ / OZON)
Оценка: 10/10 для математиков и 8/10 для гуманитариев
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
📗 Методы и алгоритмы решения задач оптимизации [1983] Бейко, Бублик
В справочном пособии изложена современные методы и алгоритма для решения задач оптимизации, возникающих во многих областях науки и техники, в сфере управления экономическими, социальными, техническими и другими процессами. Рассмотрены линейные и нелинейные, детерминированные и стохастические, гладкие в негладкие, минимаксные и другие задачи оптимизации. Все методы оптимизации представлены в виде детально разработанных алгоритмов. Для облегчения поиска необходимого алгоритма и его практического использования приводятся независимое описание каждого метода, включающее постановку задачи оптимизации, ограничительные предположения, описание конкретных алгоритмов и соответствующих теорем сходимости, а также необходимые библиографические указания.
📕 Введение в методы оптимизации [2008] Аттетков, Зарубин, Канатников
Освещается одно из важнейших направлений математики — теория оптимизации. Рассмотрены теоретические, вычислительные и прикладные аспекты методов конечномерной оптимизации. Описаны алгоритмы численного решения задач безусловной минимизации функций одного и нескольких переменных, изложены методы условной оптимизации. Приведены примеры решения конкретных задач, дана наглядная интерпретация полученных результатов. Для студентов, аспирантов и преподавателей технических, экономических и других вузов. #методы_оптимизации #математика #math #алгоритмы
📊 Прикладной спектр оптимизации сегодня охватывает буквально всё: от подбора идеального портфеля акций до минимизации расхода топлива в авиамаршрутах. В бизнесе эти алгоритмы помогают выстроить цепочки поставок так, чтобы склады не пустовали и не переполнялись, а в машинном обучении без методов оптимизации (тот же градиентный спуск) невозможно обучить ни одну нейросеть. Инженеры с их помощью проектируют лёгкие и прочные конструкции, а разработчики игр — сглаживать анимацию без потери производительности. Где есть выбор и ограничения — там всегда место для задачи оптимизации, и решается она далеко не перебором, а умными алгоритмами.
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
Ваше исследование стоит того, чтобы о нем рассказать
На междисциплинарной молодежной конференции Центрального университета сможете не просто выступить, но и получить публикацию тезисов в РИНЦ и поддержку опытных исследователей.
Студентам, аспирантам и молодым ученым доступны 6 секций: гуманитарные и естественные науки, ИИ, математика, бизнес и кибербезопасность. Секцию по кибербезу делаем совместно с факультетом ВМК МГУ.
И да, будут не только доклады: пленарные сессии с учеными и инди-группа тоже в программе.
Конференция пройдет 17 мая, но тезисы нужно подать до 3 мая
Не готовы выступать? Приходите слушать. Регистрация — до 12 мая.
😖 Спираль Роже — автоколебательная система, показывающая магнитное притяжение проводников с током. Спираль Роже демонстрирует, что между двумя параллельными проводами, проводящими электрический ток в одном направлении, существует сила притяжения. В изначальном изобретении нижний конец спирали содержал заостренный шарик, который погружался в ванночку со ртутью. Верхний конец спирали и ртуть подключались к источнику ЭДС. Ток через спираль заставляет ее сжиматься, разрывая цепь и устраняя силу между витками. Затем шарик падает в ртуть, и цикл начинается снова. Аппарат был изобретен Питером Марком Роже (1789-1868), который был врачом, основателем медицинских клиник, неутомимым автором научных статей и книг, изобретателем логарифмической линейки, экспертом по шахматам, секретарем Королевского института и, после 1840 года, составителем Тезауруса, носящего его имя. Около 1835 года он опубликовал описание сокращающейся спирали.
🧲 Электромагнитное торможение колебаний маятника
#видеоуроки #physics #физика #опыты #электродинамика #электричество #магнетизм #эксперименты #научные_фильмы
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
📚 10 книг по теории жидкостей
📙 1. Теория квантовых жидкостей [1967] Пайнс Д., Нозьер Ф.
📗 2. Квантовые жидкости: Теория, эксперимент [1969] Капица П.Л., Абрикосов А.А., Халатников И.М.
📕 3. Классическая кинетическая теория жидкостей и газов [1980] Резибуа П., Де Ленер М.
📘 4. Лекции по теории квантовых жидкостей [1989] Кондратьев, Кучма
📒 5. Теория динамического взаимодействия тел и жидкости [1940] Милович
📔 6. Теория вращающихся жидкостей [1975] Гринспен X.
📗 7. Молекулярная теория газов и жидкостей [1961] Гиршфельдер Дж., Кертисс Ч.,. Берг Р.
📕 8. Молекулярная теория поверхностного натяжения в жидкостях [1963] Оно С., Кондо С.
📔 9. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа [1972] Баренблатт, Ентов, Рыжик
📙 10. Теория волновых движений жидкости [1977] Сретенский
Эта подборка охватывает почти всю теоретическую физику жидкостей — от сверхтекучего гелия до фильтрации нефти. В первых трёх томах изучают квантовые жидкости: ферми-жидкости (электроны в металлах) и бозе-жидкости со сверхтекучестью. Малоизвестный факт: жидкий гелий-4 при охлаждении ниже 2,17 К течёт без вязкости и может «вылезать» из сосуда по стенкам — это явление открыл Пётр Капица. Следующие работы посвящены кинетической теории плотных газов и жидкостей, где выводят вязкость и теплопроводность из молекулярных столкновений. Классические труды по динамике тел в жидкости и вращающихся потоках до сих пор используют при расчёте турбин, центрифуг и даже тропических циклонов — там сила Кориолиса заставляет воздух закручиваться в воронку.
В быстро вращающейся жидкости возникают «тейлоровские столбы» — области, которые ведут себя как твёрдые стержни вдоль оси вращения. Молекулярные теории поверхностного натяжения объясняют, почему вода собирается в капли, а нефть растекается по воде — это критично для флотации руд и микроэлектроники. Теория нестационарной фильтрации — основа расчёта нефтяных пластов: оказывается, порода и жидкость сжимаются под давлением, и без учёта этого эффекта дебит скважин предсказать невозможно. А классическая теория волн на воде, хоть и выглядит архаично, до сих пор помогает строить волноломы и буровые платформы, устойчивые к штормам. В итоге перед нами не просто книжные редкости, а живой инструментарий физиков и инженеров — от криогенных лабораторий до океанских шельфов.
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
🧵 История прогресса приручения переменного тока — За компактными блоками питания стоит почти 130-летняя эволюция мысли. Путь от гудящих монстров до бесшумных «кирпичей» был долгим.
🧪 Эра жидкости: «Лампочка» и банка с содой
Самые первые выпрямители были... химическими. Да, ток выпрямляли с помощью электролита!
В 1895 году инженер М. Поллак запатентовал электролитический выпрямитель. Это был сосуд с раствором фосфорно-калиевой соли (или простой соды), куда опускали алюминиевые и свинцовые пластины. Ток шел только в одном направлении из-за образования оксидной пленки на алюминии. По сути, это была гигантская банка с жидкостью, которая грелась и кипела. КПД был ужасным (около 40%), но это был первый шаг к получению постоянного тока без двигателей.
🔧 Механическая эпоха: Моторы вместо диодов
До того как появились полупроводники, ток выпрямляли механикой. Существовали вибраторы (контакты, дребезжащие с частотой сети) и мотор-генераторы. Это был электродвигатель, на одном валу с которым сидел генератор постоянного тока. То есть, чтобы получить «постоянку», сначала раскручивали мотор от сети. В старых компьютерах (вроде IBM) и военной технике. Эти махины издавали адский шум и весили тонны.
🔩 Эпоха железа и меди: Линейные монстры
Потом на сцену вышли линейные блоки питания — те самые тяжелые «кирпичи» из нашего детства. Схема проста и сурова:
1. Трансформатор: Огромная железяка с медью понижала напряжение 220В до нужного. Из-за низкой частоты в сети (50 Гц), чтобы передать мощность, железо должно быть тяжелым — закон физики не обманешь,
2. Диодный мост: Собрали из 4 диодов (по схеме Гретца), которые «переворачивают» отрицательную полуволну в положительную. Ток стал пульсирующим.
3. Конденсатор: Он работал как сглаживающий фильтр (накопил — отдал), убирая пульсации.
КПД чудовищно низкий (40-60%). Остальное уходило в тепло. Именно поэтому старые блоки питания были такими горячими.
⚡️ Революция: Импульсный блок питания (SMPS)
Главный прорыв случился в 1960-х, когда появились силовые MOSFET-транзисторы. Инженеры поняли: если железный трансформатор такой тяжелый из-за 50 Гц, давайте поднимем частоту в тысячи раз. Так родился импульсный блок питания (принцип которого уже содержался в патенте 30-х годов, но транзисторы сделали его реальным). Переменный ток сначала выпрямляется ВЫСОКОВОЛЬТНЫМ диодным мостом и сглаживается конденсатором. А потом транзистор режет это высокое напряжение в импульсы с частотой 30-100 кГц. Трансформатор на высокой частоте нужен размером со спичечный коробок, а не с кирпич. КПД взлетел до 90%+.
🔋 Любопытный факт про Apple: Когда Стив Джобс хвастался, что Apple II «изобрел» импульсный блок питания, он преувеличивал. Да, инженер Род Холт сделал крутую компактную схему в 1977 году, но настоящая революция SMPS случилась в NASA и военной промышленности еще в начале 60-х (спутник Telstar, 1962).
Сегодня схема "диодный мост + конденсатор + высокочастотный преобразователь" — это везде, от зарядки iPhone до блока питания RTX 4090. Эти три кита — Диоды, Конденсаторы и Транзисторы — прошли путь от мокрых банок до наносекундных переключений, превратив блок питания из самого тяжелого и горячего компонента устройства в один из самых эффективных. #физика #магнетизм #электродинамика #опыты #эксперименты #physics #видеоуроки #электроника #science
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
🔻 Поверхностное натяжение — сила, которая позволяет водомерке скользить по пруду и формирует идеальные сферы капель. Монетку, натертую воском можно тоже положить на поверхность воды, и она не будет тонуть, не смотря на то, что её плотность больше, чем плотность воды.
Вопреки расхожему мнению, фундамент количественного изучения поверхностного натяжения заложила не группа мужчин-академиков, а немецкая домохозяйка Агнес Покельс. В конце XIX века, не имея права на университетское образование, 19-летняя Агнес наблюдала за поверхностью мыльной воды во время мытья посуды. Используя подручные средства она в 1882 году сконструировала «раздвижной желоб» (предшественник современных ванн Ленгмюра), позволявший точно менять площадь поверхности жидкости и измерять натяжение. Покельс в 1891 году написала письмо лорду Рэлею. Он отправил перевод её заметок в журнал Nature.
🔸 Физика процесса. Поверхностное натяжение возникает из-за асимметрии сил, действующих на молекулы. Если молекула внутри объема окружена соседями со всех сторон и силы взаимно компенсируются, то молекула на границе раздела фаз испытывает результирующую силу, направленную внутрь жидкости. Это создает энергетически выгодное состояние, при котором поверхность стремится сократиться, ведя себя как растянутая упругая мембрана.
Математически строгую теорию капиллярности дал Томас Юнг и позже Пьер-Симон Лаплас. Краеугольный камень статики поверхностных явлений — формула Лапласа, определяющая скачок давления на искривленной границе раздела: ∆P = γ (1/R₁ + 1/R₂).
∆P — разность давлений внутри и снаружи жидкости (капиллярное давление); γ — коэффициент поверхностного натяжения (Н/м); R₁, R₂ — главные радиусы кривизны поверхности.
Для практических измерений гораздо удобнее частный случай — закон Жюрена, описывающий подъем жидкости в капилляре. Высоту столба можно найти так: h = (2γ cosθ) / (ρgr).
h — высота подъема; θ — краевой угол смачивания; ρ — плотность жидкости; g — ускорение свободного падения; r — радиус капилляра
Обратите внимание: из этой формулы видно, что для воды (θ < 90°, cosθ > 0) высота положительна (мениск вогнутый, жидкость поднимается), а для ртути (θ > 90°, cosθ < 0) — отрицательна (мениск выпуклый, уровень в капилляре ниже).
▪️ 1. Сложная природа «винных слез»: Эффект Марангони, вызывающий стекание «ножек» по бокалу, стандартно объясняют градиентом поверхностного натяжения между пленкой вина и мениском из-за преимущественного испарения спирта. Однако детальные исследования показывают, что традиционная модель не объясняет, почему эффект сильнее при высокой концентрации алкоголя, где зависимость натяжения от концентрации почти исчезает. Ряд физиков настаивают, что ключевым агентом, индуцирующим поток, выступает градиент на границе раздела «жидкость–твердое тело» (стенка бокала), а не только поверхность «жидкость–воздух»
▪️ 2. Несимметричные токи Покельс: В своих ранних опытах Агнес Покельс обнаружила любопытный факт: если привести две области поверхности к одинаковому относительному загрязнению, но разными веществами (например, стеклом и металлом), то при снятии перегородки между ними возникает мощное течение от стекла к металлу. Это указывает на то, что поверхности, имеющие совершенно одинаковое численное значение натяжения, могут обладать разным «поверхностным давлением» из-за растворения микроскопических количеств вещества в поверхностном слое. Стандартный «коэффициент поверхностного натяжения» (γ) — это усредненный макропараметр. Два совершенно разных вещества могут создавать пленки с одной и той же геометрией изгиба.
▪️ Капля против гравитации: Поверхностное натяжение способно не только удерживать предметы, но и транспортировать их против силы тяжести. Если каплю поместить на наклонную поверхность, совершающую строго вертикальные вибрации, капля может поползти вверх. При ускорении пластины вниз капля принимает «мешкообразную» форму, и силы натяжения толкают её в гору даже при наклоне 85 градусов. #физика #магнетизм #электродинамика #опыты #эксперименты #physics #видеоуроки #электроника #science
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
📚 Подборка книг по C++ от Бьёрне Страуструпа
📘 Язык программирования C++ [2013] Бьёрн Страуструп
«Библия C++». Классическое 4-е издание. Полное описание языка (C++11), стандартной библиотеки, идиом. Для профессионалов, кто хочет понимать язык «из первых рук». Объём — под 1400 страниц.
📕 Программирование. Принципы и практика с использованием C++ (2е издание) [2016]
Учебник для новичков, написанный творцом языка. Не про «синтаксис за 21 день», а про инженерное мышление, алгоритмы и архитектуру. Старт с нуля, но быстро выходит на серьезный уровень.
📗 A Tour of C++ Second Edition [2018]
«Карманный Страуструп» на английском. Кратчайший обзор возможностей C++ (до C++17) для опытных программистов. Помогает освежить язык после Java/Python или быстро въехать в современный C++.
📔 Язык программирования С++. Краткий курс. 2-е издание [2019]
Сокращённая версия «библии» (2013). Убраны исторические отступления и редко используемые детали. Сфокусирован на C++11/14. Отличный настольный справочник для ежедневной работы.
📙 Язык программирования С++. Специальное издание [2019]
Осторожно: это русский перевод классического 3-го издания (1997, C++98) + доп. главы. Не про современный C++. Полезно разве что для поддержки легаси кода или изучения эволюции языка.
📓 Дизайн и эволюция языка C++ [2007]
Не учебник, а история создания языка. Почему сделали так, а не иначе? Разбор спорных решений, ошибок, компромиссов. Для фанатов IT-истории и тех, кто проектирует свои языки.
📒 Экскурсия по C++, 3-е издание [2023]
Самый свежий обзор. Актуальный C++20/23. Компактно (300 стр), ёмко и современно. Идеально, если вы знаете другой язык и хотите быстро начать писать на современном C++. Замена книге «A Tour of C++» на русском.
#cpp #cplusplus #programming #C #си #программирование #подборка_книг #разработка #архитектура
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
👨🏻💻 Где решать задачи по программированию [Часть 2]
CodinGame — Этот сайт отличается от перечисленных выше тем, что вместо обычного решения, на CodinGame вы пишете код непосредственно для того, чтобы сыграть в онлайн-игру. Это увлекательно и некоторые из игр очень забавны (см. пример). Игровая графика хороша, а пользовательский интерфейс редактора/игры очень плавный. В целом, это отличный веб-сайт для новичков, изучающих программирование.
TopCoder — одна из первых платформ для соревнований по онлайн-программированию. Популярные Single Round Matches происходят несколько раз в месяц в определенное время. Это возможность посоревноваться с другими разработчиками. Вот несколько тем, которые могут быть затронуты. Помимо решения головоломок для развлечения, предлагаются и соревнования, в которых вы можете выиграть призы от спонсоров (реальных компаний) за лучшее решение.
LeetCode — В LeetCode собрана одна из лучших коллекций задач на применение алгоритмов. Темы, которые охватывают задания, требуют знания структур данных (binary trees, heaps, linked lists, etc.) Задачи более сложные, чем на других сайтах, но они окажутся очень полезными, если использовать их при подготовке к собеседованию. Раздел "Mock Interview" (Пробное интервью) специально предназначен для подготовки к собеседованию. Также проводятся соревнования по программированию, и есть раздел статей, который поможет вам лучше понять определенные задания.
CodeChef — это некоммерческая образовательная инициатива индийской софтверной компании. Это глобальное сообщество программистов, объединенное целью обучения и дружеской конкуренции в рамках платформы для соревновательного программирования. Каждый месяц CodeChef проводит три конкурса и раздает призы победителям в качестве поощрения.
GeeksforGeeks — имеет лучшую коллекцию статей, объяснений и решений по теме алгоритмов и структурам данных. По ссылке вы можете увидеть пример того, как сложный вопрос разбивается на более простые части, объяснение и код решения. Если вы готовитесь к собеседованию, советуем вам использовать этот сайт, чтобы подготовиться и освежить сложные темы в изучении алгоритмов.
Codeforces — российская платформа для соревнований по программированию, на которой регулярно проводятся турниры, в которых участвуют одни из лучших программистов в мире. Если вы начинающий кодер, задания, скорее всего, будут слишком сложны для вас — вот пример из недавнего соревнования. Для решения этих задач обычно требуются передовые знания в области математики и алгоритмов. Цель Codeforces — предложить разработчикам удобную платформу для создания, проведения и обсуждения соревнований по программированию. #программирование #оптимизация #рефакторинг #алгоритмы #computer_science #задачи
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
🤔 Как решать технические задачи — заметка для школьников и студентов. Для успешного решения задач по физике (в целом, любых задач) Вам понадобятся:
▪️ 1. Уверенные знания в математике на уровне физ-мат лицея (это минимум). Объяснение на словах — это прекрасно, но если в вашем решении нет математики, то ваше решение ничего не стоит. И точка.
▪️ 2. Базовые знания по дифференциальному и интегральному исчислению, а также умение применять начальные условия (НУ) и граничные условия (ГУ).
▪️ 3. Понимание ограничений и сути процесса ( у вас не должны получаться отрицательная масса или отрицательное время, дробное количество, околосветовые скорости макроскопических объектов )
▪️ 4. Хорошее воображение, 3D-видение эксперимента у себя в голове, а также возможность представить как выглядит график функции, описываемой в определенном законе (например: закон радиоактивного распада).
▪️ 5. Умение разбивать большую задачу на малые подзадачи (например: определить амплитуду колебаний изображения математического маятника — у вас две задачи: механическая и оптическая — решайте их отдельно, потом сшивайте).
▪️ 6. Чувствуйте абстракции. Вы никогда не решите задачу, если попытаетесь учесть всё. Пример: определите траекторию полёта камня, брошенного под углом к горизонту с учётом... эффекта Магнуса, динамического сопротивления ветра, фазы Луны, функции плотности воздуха, динамики вихрей потоков воздуха, распада вещества, из которого состоит камень, термодинамического расширения камня. Сложно? Вот поэтому чувствуйте абстракции.
▪️ 7. Программирование. Да... внезапно. Для физики полезно знать какой-нибудь язык программирования. Попробуйте решенную задачу замоделировать и закодить в виде графической анимации. Так ваши решения станут куда более интересными и наглядными. А меняя входные параметры, вы станете лучше понимать поведение физических систем.
▪️ 8. Постоянная практика. Чтобы научиться решать задачи, нужно решать задачи. Здесь работает правило: «Глаза страшатся, а руки делают». Не бойтесь ошибаться. Не бойтесь начать писать хоть что-то. Мысли и идеи приходят во время действия. Начните делать, а не бесконечно планировать и фантазировать как вы решаете сложные задачи.
▪️ 9. Уловите связь между дискретным и непрерывным. Постарайтесь понять как работать с пределами. Если вы решаете задачу по физике на черновике, то вы часто пользуетесь интегрированием непрерывных, гладких и удобных функций. Но если перед вами стоит задача запрограммировать интеграл, то вы переходите от непрерывного интегрирования к предельной сумме.
▪️ 10. Базовые знания численных методов — это большой друг для начинающего физика или математика. Любая серьезная работа, вроде бакалаврского диплома или магистерской диссертации у физиков связана с численными методами и программированием. Начинайте изучать их со школы.
▪️ 11. Школьные знания — капля в море. Никогда не ждите того, когда вам расскажут это в школе. Набирайтесь самостоятельности и используйте множественные источники информации. Послушали преподавателя, позанимались с репетитором, почитали одну книгу, вторую книгу, подумали сами. Не ждите идеального объяснения в одном месте.
▪️ 12. Используйте интернет с пользой. Здесь всегда есть люди, готовые вам помочь и дать хорошую подсказку. Вам только нужно научиться задавать правильные вопросы. И обязательно показывать свои наработки.
💡 Репетитор IT men // @mentor_it
📝 📝📝 Самая красивая математическая формула
Есть мнение, что Леонард Эйлер просто взял и записал это тождество в 1740-х годах. Однако исторические исследования показывают, что всё было гораздо сложнее и интереснее.
▪️ Предшественники Эйлера: Идея связи логарифмов и тригонометрических функций витала в воздухе задолго до Эйлера. Когда будущему гению не было и 7 лет, английский математик Роджер Коутс, развивая идеи Иоганна Бернулли, уже получил формулу, эквивалентную ln(cos φ + i sin φ) = iφ. Спор между Лейбницем и Бернулли о природе логарифмов отрицательных чисел подготовил почву для принятия комплексного мира.
▪️ Роль Эйлера: В 1740-х годах 34-летний Эйлер совершил концептуальный прорыв — он вывел и ясно записал формулу, связывающую экспоненту с тригонометрическими функциями: cos φ + i sin φ = e^(iφ). В его работах действительно мелькали значения логарифмов для разных углов, включая π. Но вот парадокс: сам Эйлер нигде не записал тождество в его каноническом виде exp(iπ) + 1 = 0.
▪️ Знакомое равенство впервые появилось в явном виде лишь спустя более полувека после работ Эйлера. Его автором считается французский инженер и математик Жак Франсе, который привел e^(iπ) = -1 как один из частных случаев формулы Эйлера. Примечательно, что теоретики того времени, включая самого Огюстена Луи Коши, не придали этой записи какого-то сакрального значения.
▪️ Рождение легенды: Титул «самой красивой формулы» возникли гораздо позже — в XIX и XX веках, когда математики и физики начали осмысливать её фундаментальность. Американский математик Бенджамин Пирс, а затем и читатели журнала Mathematical Intelligencer закрепили за ней этот статус, увидев объединение пяти главных констант вселенной.
Уникальность e^(iπ)+1=0 — в объединении 5 фундаментальных констант:
▫️ 0 и 1: Базовые элементы арифметики, основа основ.
▫️ π = 3.14159...: Иррациональная константа, рожденная из геометрии окружности. Символ «π» был введен в обиход лишь в 1706 году Уильямом Джонсом и популяризирован тем же Эйлером.
▫️ e = 2.71828...: Основание натурального логарифма, число, без которого немыслим анализ бесконечно малых. Именно Эйлер ввел для него современное обозначение «e» (exponential).
▫️ i = √-1: Мнимая единица, понятие, которое в XVI–XVII веках казалось математикам либо абсурдным, либо софистическим трюком. Эйлер начал использовать символ «i» в 1777 году, но укоренился он благодаря Гауссу.
〰️ Где формула Эйлера работает на инженера
Было бы ошибкой считать тождество Эйлера лишь красивой абстракцией. Сама формула e^(iφ) = cos φ + i sin φ — это незаменимый рабочий инструмент в инженерных и физических расчетах, где нужно описывать колебания, волны и вращения. Приведем примеры:
▪️Электротехника и теория цепей: Вместо громоздких дифференциальных уравнений для описания синусоидального переменного тока используется метод комплексных амплитуд. Ток или напряжение представляется как вектор на комплексной плоскости: I = I₀·e^(iωt). Дифференцирование сигнала (сдвиг фазы на 90°) сводится к простому умножению на iω в комплексной области. Это позволяет инженерам-схемотехникам рассчитывать фильтры, резонансные контуры и линии передач с помощью простой алгебры.
▪️Цифровая обработка сигналов: Знаменитое преобразование Фурье (разложение сигнала на гармоники) в своей основе опирается на формулу Эйлера. Именно она позволяет перекинуть мост от реального звукового сигнала или изображения к его частотному спектру. Без неё были бы невозможны алгоритмы сжатия JPEG и MP3, шумоподавление и современная радиосвязь.
▪️Механика и теория колебаний: Уравнение гармонических колебаний маятника или вибрации балки в комплексной форме x(t) = A·e^(iωt+φ) позволяет легко складывать и анализировать сдвиги фаз, амплитуды и частоты.
▪️Аэродинамика и гидромеханика: В этой сфере формула Эйлера тоже незаменима. Здесь Эйлер применил свой математический аппарат для описания течения идеальной жидкости. Эти уравнения, записанные с использованием комплексных переменных, позволяют рассчитывать потенциальные потоки и подъёмную силу крыла самолёта. #математика #math
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
🦾 Связь сингулярности с самым маленьким промышленным роботом-манипулятором ⚙️
Хотя робот размером примерно с человеческую руку, его эффективное декартово рабочее пространство удивительно велико. В этом видео показано, как специальный алгоритм управления сингулярностями позволяет манипулятору плавно преодолевать кинематические сингулярности, в полной мере используя преимущества своего рабочего пространства, сохраняя при этом точное управление и динамическую стабильность.
Робот создан специально для автоматизации высокого уровня в микроэлектронике, полупроводниках, фотонике, медицинских приборах, передовых лабораторных процессах и аналогичных областях, где решающее значение имеют точность на микронном уровне и чрезвычайно малые габариты.
👨🏻💻 Алгоритм обработки сингулярностей (singularity-handling algorithm) в робототехнике — это метод управления манипулятором, который учитывает сингулярные конфигурации, при которых матрица Якоби теряет ранг, что приводит к потере управляемости. Цель — минимизировать влияние сингулярностей, например, избежать непредсказуемых движений, потери контроля или повреждения системы.
Сингулярность возникает, когда две или более оси манипулятора становятся выровненными, что приводит к потере одной или более степеней свободы. Некоторые типы сингулярностей:
1. Сингулярности запястья — когда две оси в запястье робота становятся выровненными, что теряет одну степень свободы.
2. Сингулярности локтя — возникают, когда рука робота полностью вытянута, из-за чего запястье лежит в той же плоскости, что и второй и третий сочленения.
3. Сингулярности плеча — возникают, когда запястье робота выравнивается с основанием, что заставляет первые и четвёртые сочленения пытаться повернуть на 180 градусов на лету.
💠 Алгоритмы обработки сингулярностей могут включать:
▪️ Выявление сингулярных конфигураций. Например, анализ детерминанта матрицы Якоби — если он равен нулю, матрица сингулярна.
▪️ Корректировку конфигурации при обнаружении сингулярности. Например, для граничных сингулярностей алгоритм изменяет вход управления, чтобы вернуть манипулятор из сингулярной прямой позы. Для внутренних сингулярностей алгоритм управляет манипулятором с помощью движения в нулевом пространстве.
▪️ Минимизацию резких движений на границах сингулярных регионов. Например, для некоторых типов сингулярностей в управление в нулевом пространстве интегрируют контроль демпфирования, чтобы минимизировать резкие движения.
Некоторые примеры реализации алгоритма в робототехнике:
▫️ Алгоритм на основе контроля в оперативном пространстве для антропоморфных манипуляторов с шестью степенями свободы. Для граничных сингулярностей алгоритм модифицирует вход управления, для внутренних — управляет манипулятором с помощью движения в нулевом пространстве.
▫️ Метод на основе виртуальных избыточных сочленений для манипулятора PUMA 560. В матрицу Якоби вводят виртуальные избыточные сочленения, чтобы поддерживать ранг матрицы при возникновении сингулярности.
▫️ Метод отслеживания траектории с учётом сингулярных положений на основе генетических алгоритмов. Позволяет минимизировать ошибки и эффективно избегать критических состояний за счёт глобальной оптимизации управляющих параметров.
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
📝 Математическая разминка для наших подписчиков 📝
Главная сила математики состоит в том, что вместе с решением одной конкретной задачи она создаёт общие приёмы и способы, применимые во многих ситуациях, которые даже не всегда можно предвидеть. — М. Башмаков
📕«Пределы, пределы повсюду: Инструменты математического анализа» [2012] Дэвид Эпплбаум
📙 Limits, Limits Everywhere The Tools of Mathematical Analysis [2012] David Applebaum
💾 Скачать книгу
В книге нас встречают пределы, последовательности, ряды и прочие фундаментальные кирпичики настоящего анализа. Автор обещает нечто необычное: книгу, которая находится где-то между популярной математикой и строгим университетским курсом. И надо сказать, он сдерживает слово.
«Limits, Limits Everywhere» — это редкий зверь: учебник, который не кричит на вас за незнание производной. Это книга для тех, кто хочет понять настоящую, строгую математику, но боится заходить в университетскую аудиторию. Если вы учитесь на первом курсе технической специальности и чувствуете, что тонете в абстракциях — эта книга может стать вашим спасательным кругом. #пределы #геометрия #задачи #математика #анализ #math #mathematics #подборка_книг🍩 Для донатов на кофе ☕️: +79616572047 (СБП / ВТБ / OZON)
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
📘 One Thousand Exercises in Probability Third Edition [2020] Geoffrey Grimmett, David Stirzaker
📕 Теория вероятностей и случайные процессы: сборник задач: 1000 задач с решениями, Гримметт Стирзакер
▪️ Начинается с элементарных событий, а заканчивается диффузионными процессами и мартингалами. Подойдет и второкурснику, и аспиранту.
▪️ В отличие от абстрактных задач из советских учебников, здесь много прикладных вещей: очереди (Queues), моделирование массового обслуживания и даже упоминание модели Блэка-Шоулза для опционов.
▪️ В идеале книгу стоит использовать в паре с главным учебником Гримметта, но как сборник задач она самодостаточна благодаря подробным ответам.
Если вы когда-либо изучали теорию вероятностей всерьёз, то наверняка слышали об учебнике Probability and Random Processes тех же авторов — классическом тексте, который выдержал четыре издания. Но есть одна проблема: теория без практики мертва. «One Thousand Exercises in Probability» — задачник, который многие студенты и преподаватели называют «золотым стандартом» в своей области.
Существует только оригинальное английское издание. Если ваш английский позволяет читать математическую литературу, вы получите доступ к настоящей сокровищнице.
Это третье издание представляет собой переработанную, обновлённую и значительно расширенную версию предыдущего издания 2001 года. Более 1300 упражнений, содержащихся в книге, — это не просто тренировочные задачи; они подобраны так, чтобы проиллюстрировать концепции, пролить свет на предмет, а также информировать и развлекать читателя. Охватывается широкий круг тем, включая элементарные аспекты теории вероятностей и случайных величин, выборку, производящие функции, цепи Маркова, сходимость, стационарные процессы, восстановление, очереди, мартингалы, диффузионные процессы, Lévy-процессы, устойчивость и самоподобие, замену времени и стохастическое исчисление, включая оценку опционов по модели Блэка-Шоулза в математических финансах.
✅ Для кого эта книга — идеальный выбор:
▪️1. Студенты математических и технических специальностей — от второго курса бакалавриата до первого года магистратуры. Книга охватывает уровень от вводного до продвинутого .
▪️2. Преподаватели — как источник задач для семинаров, контрольных и экзаменов. Авторы прямо указывают, что это «незаменимое пособие для преподавателей, составляющих экзамены» .
▪️3. Самоучки — благодаря тому, что ко всем задачам даны решения. Это огромный плюс по сравнению с задачниками, где ответов нет или они приведены в конце без пояснений.
▪️4. Те, кто изучает теорию вероятностей как дисциплину — эта книга ориентирована на математическую теорию, а не на прикладные задачи для инженеров или экономистов .
#математика #теория_вероятностей #подборка_книг #статистика #math
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
👁Российские исследователи и студенты из Лаборатории интеллектуальных сенсорных систем Центрального университета и Сколтеха нашли способ повысить точность айтрекеров в два раза в сложных условиях👨🏻💻
Айтрекеры (eye trackers)— устройства, которые следят за движением глаз, работают так: инфракрасный излучатель освещает глаз, камера фиксирует отражение на зрачке, а программа переводит эти данные в координаты на экране.
Основная проблема современных айтрекеров связана с тем, что если человек носит очки или линзы, а также если на него падает яркий свет, точность определения зрачка падает.
▪️Суть открытия. Новый алгоритм, который разработали ученые совместно со студентами, работает в два этапа. Сначала с помощью специальной ИК-подсветки делают два кадра — один со «светлым» зрачком, другой с «темным». Вычитание одного из другого позволяет получить четкое изображение и выделить зрачок и блики. Затем с помощью метода K-средних зрачок, блики и фон группируются, и алгоритм рассчитывает точку взгляда на экране монитора.
▪️Результаты тестов. Тестирование показало: точность определения зрачка в очках выросла на 64%, а при ярком освещении — на 27%. Ошибка на Full HD‑экране — около 16 пикселей, что в два раза лучше прежних методов.
▪️Сфера применения. Разработка позволит увеличить эффективность и масштабировать применение айтрекеров в нескольких сферах: в медицине – для оценки скорости перемещения взгляда пациента во время реабилитации, а также для оценки паттернов поведения в неврологии, в образовании, киберспорте, а также для совершенствования пользовательского опыта при взаимодействии с графическим интерфейсом.
Работа была признана на престижной международной конференции IEEE REEPE и получила награду «Best Paper Award».
#science #разработка #алгоритмы #наука
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
📗 Методы и алгоритмы решения задач оптимизации [1983] Бейко, Бублик
📕 Введение в методы оптимизации [2008] Аттетков, Зарубин, Канатников
💾 Скачать книги
Одним из наиболее интенсивно используемых и наиболее важных инструментариев повышения эффективности управления и оптимизации сложных систем являются в настоящее время математические методы оптимизации. Современные методы оптимизации часто оказываются недоступными для многих потенциальных потребителей из-за высокого математического уровня соответствующих публикаций.
В мире, где каждый хочет получить максимум при минимуме затрат, методы оптимизации — это ваш личный GPS по сложным решениям. Эта тема учит не просто «подбирать параметры», а использовать мощные алгоритмы (от градиентного спуска до генетических методов), чтобы находить лучший вариант из миллионов возможных. Понимание этих алгоритмов превращает хаос данных в стройную стратегию — будь то настройка нейросети, логистика поставок или распределение бюджета. #методы_оптимизации #математика #math #алгоритмы
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
💦 Задача по физике про два бака с жидкостью
Две ёмкости имеют форму усечённых конусов с одинаковой высотой H и одинаковыми радиусами оснований R (сверху) и r (снизу) — но по-разному ориентированными:
Первый сосуд сужается книзу (верхнее основание R, нижнее r, R>r).
Второй сосуд расширяется книзу (верхнее основание r, нижнее R, R>r).
Оба сосуда изначально полностью заполнены водой. В дне каждого имеется одинаковое маленькое отверстие площадью S (коэффициент расхода одинаков, истечение идеальное).
❓Одинаково ли время полного выливания воды из этих сосудов? Если нет, то из какого вода вытечет быстрее и во сколько раз? Считайте течение стационарным, трением пренебречь, сосуды стоят вертикально.
❗️ Подсказка № 1: Скорость вытекания воды из отверстия определяется высотой столба жидкости над ним (формула Торричелли).
‼️ Подсказка № 2: Но скорость понижения уровня воды в сосуде зависит не только от скорости вытекания, но и от того, как быстро меняется площадь поперечного сечения сосуда с высотой.
#задачи #физика #разбор_задач #physics #механика #гидравлика #гидродинамика #science
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
✔️ Преимущества владельцев карты Т-Банка
➡️ Узнать подробности
▪️До 10% кэшбэк за покупки на любых АЗС;
▪️5% кэшбэк за покупку любого полиса в Т-Страховании;
▪️До 5% кэшбэк за покупки в категории «Автоуслуги»;
▪️До 5% кэшбэк за оплату штрафов ГИБДД в мобильном и интернет-банке;
▪️1% кэшбэк за любые другие покупки;
▪️До 30% за покупки по спецпредложениям банка.
➡️ Узнать подробности
📚 10 книг по теории жидкостей
💾 Скачать книги
Физика жидкостей (физика жидкого состояния вещества) — раздел физики, в котором изучаются механические и физические свойства жидкостей. Статистическая теория жидкостей является разделом статистической физики. Важнейшим результатом является вывод уравнений гидродинамики из уравнений Лиувилля, реализованный Н. Н. Боголюбовым в 1948 году. В физике квантовых жидкостей изучается явление сверхтекучести, нашедшее объяснение в работах Н. Н. Боголюбова 1947—1949 годов.
Успехи теории фазовых переходов между газообразным и жидким состоянием вещества, созданной Ван-дер-Ваальсом, укрепили представления о структурной близости этих состояний, как неупорядоченных и различающихся лишь плотностью частиц. После первых ренгеноструктурных исследований распределения частиц в жидкости выяснилось, что жидкости не являются бесструктурными. В теории рассеяния света в жидкости, разработанной Цернике и Пирсом в 1927 году, возникает функция распределения... Подробнее в книгах.
#теория_жидкости #гидродинамика #гидростатика #сверхтекучесть #квантовая_жидкость #физика #physics
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
👨🏻💻 Подборка полезных ссылок для изучения C++
▪️ LearnCpp.com — это бесплатный веб-сайт, посвященный обучению вас программированию на C++. Независимо от того, был ли у вас какой-либо предыдущий опыт программирования или нет, учебные пособия на этом сайте помогут вам выполнить все шаги по написанию, компиляции и отладке ваших программ на C++, и все это с большим количеством примеров.
▪️ ravesli.com — Здесь представлены более 240 бесплатных уроков, где с нуля рассматриваются основы и тонкости языка С++ и программирования в целом. Есть пошаговые создания игр на С++ с помощью библиотек MFC и SFML, и более 70 практических заданий для проверки ваших навыков программирования.
▪️ metanit.com — данный сайт посвящен различным языкам и технологиям программирования, компьютерам, мобильным платформам и ИТ-технологиям. Здесь будут выкладываться различные руководства и учебные материалы, статьи и примеры.
▪️ cppstudio.com/cat/274/ — Если вы новичок в C++, предлагаю Вам прочитать этот бесплатный учебник. Здесь собрано большое количество статей для начинающих программистов по С++. Условно все статьи разделены на группы, кратко характеризующие их содержание. После прочтения статьи, можно закрепить материал, написав несколько программ. Для проверки своих теоретических знаний можно пройти тестирование по С++. В таблице после теоретических статей идет подраздел практики, в котором вы можете пройти тестирование и написать программы.
▪️ cplusplus.com/doc/tutorial/ — These tutorials explain the C++ language from its basics up to the newest features introduced by C++11. Chapters have a practical orientation, with example programs in all sections to start practicing what is being explained right away.
▪️ devdocs.io/cpp/ — The interface of C++ standard library is defined by the following collection of headers.
▪️ https://www.cpp.com.ru/ — C++ — чрезвычайно мощный язык, содержащий средства создания эффективных программ практически любого назначения, от низкоуровневых утилит и драйверов до сложных программных комплексов самого различного назначения. На данном сайте выложено несколько книг и статей по языкам С и С++, как для начинающих, так и для профессионалов.
▪️ https://en.cppreference.com/w/cpp — ещё одна хорошая документация на английском. Постоянно обновляется.
▪️ https://learnc.info/ — хороший сайт с лекциями по языку C. В качестве базового языка вам предстоит изучать C. Почему именно C, а не Pascal, Python, Ruby или PHP? Этот язык заставляет вас думать обо всём. Когда программируешь на си, начинаешь понимать, что компьютер - просто железяка. Необходимо самостоятельно выделять память под объекты, затем очищать эту память, заботиться о переполнении массивов, переполнении переменных, изменении знака переменных, приведении типов, правильном обращении к памяти и т.д.
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
🟨 Для нахождения центра тяжести плоской фигуры можно использовать следующие методы:
▪️ Способ симметрии. Если фигура имеет плоскость, ось или центр симметрии, то её центр тяжести лежит на этой плоскости, оси или совпадает с центром симметрии.
▪️ Способ разбиения. Сложную фигуру разбивают на отдельные части, у которых площади и координаты центров тяжести известны или достаточно просто вычисляются.
▪️ Метод отрицательных площадей. Его применяют для фигур с вырезами, если известно положение центра тяжести тела без учёта выреза и центра тяжести самого выреза. Площадь целой части считают положительной величиной, а площадь выреза — отрицательной.
▪️ Метод интегрирования. Его используют, если фигуру невозможно разбить на простые части. Тело разбивают на бесконечно малые объёмы, затем интегрированием вычисляют координаты.
▪️ Метод подвешивания. Этот экспериментальный метод применяют для тонких плоских тел. Фигуру поочередно подвешивают за две различные точки, прочерчивают направления линий подвеса, а центр тяжести находят как точку пересечения указанных линий.
#физика #математика #геометрия #топология #механика #задачи #олимпиады #разбор_задач
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
📚 Подборка книг по C++ от Бьёрне Страуструпа
Страуструп представляет возможности C++ в контексте поддерживаемых ими стилей программирования, таких как объектно-ориентированное и универсальное программирование. Его экскурсия на удивление обширна. Освещение начинается с основ, затем широко распространяется по более продвинутым темам, уделяя особое внимание новым языковым возможностям. В этом издании рассматриваются многие новые функции C++20, реализованные основными поставщиками C++, включая модули, концепции, сопрограммы и диапазоны. В нем даже представлены некоторые используемые в настоящее время библиотечные компоненты, включение которых в стандарт не запланировано до C++23.
💾 Скачать книги
Это авторитетное руководство не ставит своей целью научить вас программировать (об этом читайте в книге Страуструпа "Программирование: принципы и практика использования C++", второе издание), и оно не будет единственным ресурсом, который вам понадобится для овладения C++ (об этом читайте в книге Страуструпа "Язык программирования C++", четвертое издание). Издание и рекомендуемые онлайн-источники). Однако, если вы программист на C или C++, желающий лучше познакомиться с текущим языком C++, или программист, разбирающийся в другом языке, желающий получить точное представление о природе и преимуществах современного C++, вы не найдете более короткого или простого введения.
#cpp #cplusplus #programming #C #си #программирование #подборка_книг #разработка #архитектура
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
👨🏻💻 Где решать задачи по программированию [Часть 1]
E-olymp — один из крупнейших украинских сайтов для изучения информатики и подготовки к олимпиадам.
HackerRank — это социальная платформа, которая предлагает задания разной сложности по программированию. Запущена платформа была в 2012 году. Сейчас аудитория проекта насчитывает около полутора миллиона пользователей. Статистику по результатам решений заданий своими пользователями ресурс регулярно публикует в виде рейтинга по 50 странам.
Coderbyte — предлагает 200+ соревновательных задач, которые вы можете решать в онлайн-редакторе, используя 10 различных языков программирования. Вы сможете ознакомиться с официальными решениями для некоторых задач, а также найти более 800 тысяч пользовательских решений. Coderbyte рекомендован командами многих известных образовательных курсов по программированию благодаря коллекции задач, полезных для подготовки к собеседованию.
Codewars — предоставляет разработчиками большую коллекцию интересных задач, созданных сообществом платформы. Вы можете выполнять задания непосредственно в online-редакторе, используя один из 20 языков программирования. Зарабатывайте очки и поднимайтесь в рейтинге. Вы можете просмотреть обсуждение как для каждой задачи, так и для пользовательский решений.
CodeFights — платформа, состоящая из коллекции задач, которые можно решать в онлайн-редакторе, и форума пользователей для обсуждения возникающих проблем. Отличительной особенностью является функция «Company Bots». Это возможность конкурировать с «ботами», которые были запрограммированы инженерами крупных технологических компаний. Вы когда-нибудь задумывались, насколько ваши навыки программирования соответствуют стандартам инженеров из Uber, Dropbox, Quora и других высокотехнологичных компаний? Посоревнуйтесь с этими ботами и узнайте. #программирование #оптимизация #рефакторинг #алгоритмы #computer_science #задачи
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
💨 Адиабатическое расширение: как газ охлаждает сам себя и зачем это инженерам?
Вы когда-нибудь замечали, что баллончик с сжатым воздухом (для продувки клавиатуры) при работе становится ледяным? Или почему при накачке шины насос нагревается? Оба случая связаны с адиабатическим процессом. Теперь углубимся в историю физики. Четкое описание эффекта дал Джеймс Джоуль в середине XIX века (опыты с расширением газа в пустоту). Но еще до него Гей-Люссак в 1807 году заметил, что при быстром расширении газ охлаждается. Однако физическую суть объяснил именно Джоуль, а математически процесс описал Пуассон.
Ключевое слово: «адиабатически» — значит без теплообмена с окружающей средой. Процесс слишком быстрый, тепло просто не успевает поступать.
1. Чтобы расшириться, газу нужно толкать поршень (или стенки сосуда) — совершать работу.
2. Единственный ресурс для этой работы — внутренняя энергия самого газа.
3. Внутренняя энергия падает — молекулы замедляются — падает температура. (сжимая газ (тот же насос), вы совершаете работу над ним, и он нагревается.)
📝 Это явление является основной многих инженерных технологий, которые используется в нашей жизни:
▫️ 1. Холодильники и кондиционеры. Хладагент адиабатически расширяется в испарителе (через капиллярную трубку или ТРВ), вымораживая тепло из камеры.
▫️ 2. Сжижение газов (процесс Линде). Чтобы превратить воздух в жидкий азот или кислород, его сначала сжимают, а потом дают резко расшириться. Многократное повторение — и температура падает до -190°C.
▫️ 3. Детандеры (газовые турбины). На газораспределительных станциях природный газ высокого давления пропускают через турбину — он расширяется, охлаждается, и заодно вращает генератор, вырабатывая электроэнергию бесплатно.
▫️ 4. Дизельный двигатель. В нем нет свечей зажигания! Впрыск топлива идет в цилиндр с горячим воздухом, который нагрелся именно от адиабатического сжатия (обратный процесс). Вспышка происходит сама собой.
Если распылить освежитель воздуха (с пропеллентом) на термометр, температура упадет на несколько градусов.
Таким образом, без адиабатического расширения мы бы до сих пор ели тёплые продукты (холодильник) и не летали бы в космос (охлаждение ракетных ступеней). #физика #опыты #теплопроводность #термодинамика #инженерия #эксперименты #physics #science #теплота #наука
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
📝 Ответ всем тем, кто не верит в качество Советского Образования
Однажды выдающийся математик Владимир Игоревич Арнольд принимал американского коллегу. Поскольку Арнольд был известный хохмач, он решил разыграть гостя. Пришли в ресторан. Арнольд отлучился как будто в туалет. По пути подозвал официантку и попросил:
— Когда подойдете к нашему столику, и я спрошу, чему равен интеграл от косинуса, ответьте, что он равен синусу такого же аргумента. Не забудете? Не перепутаете?
Возвращается Арнольд обратно, произносит очередной тост за науку всех наук — математику и, между прочим, замечает :
— Ты знаешь, а в нашей стране такой уровень образования, что все поголовно знают даже высшую математику!
— Не может быть, — машет рукой американский профессор.
— Ну давай спросим что-нибудь из высшей математики хотя бы вот у этой официантки?
— Давай!
Подзывают:
— Чему равен интеграл от косинуса?
— Синусу такого же аргумента, — заученно отвечает официантка.
Американец потрясен. Арнольд радуется, как дитя — розыгрыш удался!
Через некоторое время официантка опять подходит к их столику и говорит:
— Извините, я забыла добавить: плюс константа интегрирования 📝сos(x)dx = sin(x) + Const
👩💻 Всем программистам посвящается!
Вот 14 авторских обучающих IT каналов по самым востребованным областям программирования:
Выбирай своё направление:
👩💻 Python — t.me/python_ready
🤖 AI & ML — t.me/neuro_ready
🤔 InfoSec & Хакинг — t.me/hacking_ready
🖥 SQL & Базы Данных — t.me/sql_ready
👩💻 IT Новости — t.me/it_ready
👩💻 Frontend — t.me/frontend_ready
👩💻 C/C++ — /channel/cpp_ready
👩💻 C# & Unity — t.me/csharp_ready
👩💻 Linux — t.me/linux_ready
👩💻 Java — t.me/java_ready
📖 IT Книги — t.me/books_ready
📱 JavaScript — t.me/javascript_ready
🖼️ DevOps — t.me/devops_ready
🖥 Design — t.me/design_ready
📌 Гайды, шпаргалки, задачи, ресурсы и фишки для каждого языка программирования!
📕«Пределы, пределы повсюду: Инструменты математического анализа» [2012] Дэвид Эпплбаум
Самая сильная сторона этой книги — её доступность. В отличие от 99% стандартных учебников по матанализу (типа Фихтенгольца, Зорича или Рудина), которые с первой же страницы требуют от читателя если не виртуозного владения производными, то хотя бы железной воли, Эпплбаум начинает практически с нуля. Он не предполагает, что вы уже знаете дифференциальное и интегральное исчисление. Более того, он сознательно избегает двух пугающих новичков тем — аксиоматической теории множеств и доказательств по индукции (вынося их в приложения). Это смелое, но оправданное решение, которое позволяет не потерять читателя на первых ста страницах.
Книга логично разбита на две части:
▪️ Первая часть — это классический курс элементарного вещественного анализа: числа, неравенства, сходимость последовательностей, бесконечные ряды. Всё это подано в формате «теорема-доказательство», но с гораздо более подробными выкладками, чем в обычных учебниках. Автор словно держит вас за руку и проговаривает каждый шаг. В конце каждой главы есть упражнения — без них, увы, анализ не освоить, но они не выглядят садистскими.
▪️ Вторая часть — настоящая жемчужина. Именно здесь оправдывается подзаголовок «Инструменты математического анализа». Вместо скучного перечисления свойств интегралов Эпплбаум показывает, что можно сделать с помощью пределов. Вы найдёте здесь:
— изящные доказательства иррациональности числа e и (что гораздо реже встречается) числа π;
— введение в дзета-функцию Римана — ту самую, что связана с Великой гипотезой;
— теорию бесконечных множеств Кантора и дедекиндовы сечения;
— цепные дроби и даже краткий исторический очерк.
Для читателя, который привык к популярным книгам типа «Вот это математика!» или «Как не ошибаться», этот раздел станет идеальным мостиком: он одновременно и строг, и увлекателен. Вы наконец поймёте, зачем аналитикам понадобилось всё это «эпсилон-дельта»-колдовство.
Из минусов стоит отметить, что книга всё же требует определённой зрелости мышления. «Расслабленное введение», обещанное в аннотации, не означает, что можно читать её в метро под музыку. Некоторые доказательства (особенно в части о дзета-функции) требуют усидчивости и перечитывания. Кроме того, полное отсутствие связи с дифференциальным и интегральным исчислением может показаться странным тем, кто привык видеть в анализе прежде всего инструмент для физики. Но это сознательный выбор автора, и он честно предупреждает о нём с первых страниц.
📙 Limits, Limits Everywhere The Tools of Mathematical Analysis [2012] David Applebaum
A quantity can be made smaller and smaller without it ever vanishing. This fact has profound consequences for science, technology, and even the way we think about numbers. In this book, we will explore this idea by moving at an easy pace through an account of elementary real analysis and, in particular, will focus on numbers, sequences, and series.
Almost all textbooks on introductory analysis assume some background in calculus. This book doesn't and, instead, the emphasis is on the application of analysis to number theory. The book is split into two parts. Part 1 follows a standard university course on analysis and each chapter closes with a set of exercises. Here, numbers, inequalities, convergence of sequences, and infinite series are all covered. Part 2 contains a selection of more unusual topics that aren't usually found in books of this type. It includes proofs of the irrationality of e and π, continued fractions, an introduction to the Riemann zeta function, Cantor's theory of the infinite, and Dedekind cuts. There is also a survey of what analysis can do for the calculus and a brief history of the subject. #math #математика #математический_анализ #calculus
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
📚 Математика. Элективные курсы [2008-2016] Шахмейстер А. Х.
📓 Шахмейстер А. Х. - Введение в математический анализ - 2010
📔 Шахмейстер А. Х. - Множества. Функции. Последовательности. Прогрессии - 2008
📕 Шахмейстер А. Х. - Уравнения - 2011
📒 Шахмейстер А. Х. - Построение графиков функций элементарными методами - 2011
📗 Шахмейстер А. Х. - Логарифмы - 2016
📘 Шахмейстер А. Х. - Дробно-рациональные неравенства - 2008
📙 Шахмейстер А. Х. - Задачи с параметрами на экзаменах - 2009
📓 Шахмейстер А. Х. - Корни - 2011
📕 Шахмейстер А. Х. - Построение и преобразования графиков. Параметры. Часть 1. Линейные функции и уравнения - 2014
📔 Шахмейстер А. Х. - Построение и преобразования графиков. Параметры. Части 2-3. Нелинейные функции и уравнения. Графическое решение уравнений... - 2016
📙 Шахмейстер А. Х. - Системы уравнений - 2008
📘 Шахмейстер А. Х. - Дроби - 2013
📗 Шахмейстер А. Х. - Тригонометрия - 2014
📕 Шахмейстер А. Х. - Доказательства неравенств. Математическая индукция. Теория сравнений. Введение в криптографию - 2018
📓 Шахмейстер А. Х. - Комбинаторика. Статистика. Вероятность - 2012
📔 Шахмейстер А. Х. - Комплексные числа - 2014
📕 Шахмейстер А. Х. - Геометрические задачи на экзаменах. Часть 1. Планиметрия - 2015
📒 Шахмейстер А. Х. - Геометрические задачи на экзаменах. Часть 2. Стереометрия. Часть 3. Векторы - 2012
📗 Шахмейстер А. Х. - Иррациональные уравнения и неравенства - 2011
📘Шахмейстер А. Х. - Кривые второго порядка - 2020
📙 Шахмейстер А.Х. - Уравнения и неравенства с параметрами - 2023
#алгебра #геометрия #задачи #математика #анализ #math #mathematics #подборка_книг
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib